いよいよ円分整数環 Z[ζ] における素因子の定義を述べる。

Z[ζ] から 0 を除いた集合 Z[ζ] - {0} を Z[ζ]^* と書く。
非負の有理整数全体を Z+ と書く。つまり Z+ = {n ∈ Z; n ≧ 0}

Z[ζ] から Z ∪ {∞} への写像 ν で以下の条件を
満たすものをZ[ζ] における素因子という。
ただし、∞ は単なる記号で 任意の n ∈ Z に対して ∞ ＞ n とする。

1) ν(Z[ζ]^*) = Z+
ν(0) = ∞

2) f(ζ) ≠ 0, g(ζ) ≠ 0 なら
ν(f(ζ)g(ζ)) = ν(f(ζ)) + ν(g(ζ)) となる。

3) ν(f(ζ) + g(ζ)) ≧ min(ν(f(ζ), ν(g(ζ)) である。