>>403 の命題 1) を証明する。

1) 円分整数 f(ζ) が 0 でなければ ord(f(ζ)) は有限値として
必ず定まる。

証明
f(ζ) のノルム Nf(ζ) = (p^s)m とする。ここで m は p と素な
有理整数である。s = 0 の場合は ord(f(ζ)) = 0 だから
s ≧ 1 と仮定する。
>>404 と >>406 より、Nf(ζ) は Φ_0 で定まる素因子で
きっかり s 回割れる。

f(ζ) が Φ_0 で定まる素因子で k 回割れるとする。
(Ψ(η)^k) f(ζ) = (p^k) h(ζ) となる円分整数 h(ζ) がある。
Nf(ζ)/f(ζ) は円分整数だからこれを g(ζ) と書く。
つまり Nf(ζ) = f(ζ)g(ζ) である。
よって (Ψ(η)^k) Nf(ζ) = (p^k) h(ζ)g(ζ) となる。
よって、Nf(ζ) はΦ_0 で定まる素因子で k 回割れる。
よって、s ≧ k である。よってこのような k は上に有界である。
よって、ord(f(ζ)) はこのような k の最大値として定まる。
証明終