>>403 の残りの命題を証明する前に補題を用意する。

補題
f(ζ) ≠ 0 を円分整数とし、f(ζ) が Φ_0 で定まる素因子で
k 回割れるとする。
(Ψ(η)^k) f(ζ) ≡ 0 (mod p^k) だから、
(Ψ(η)^k) f(ζ) / p^k は 円分整数である。
これを h(ζ) とする。
f(ζ) が Φ_0 で定まる素因子できっかり k 回割れるためには、
h(ζ) が Φ_0 で定まる素因子で割れないことが必要十分である。

証明
(Ψ(η)^k) f(ζ) = (p^k) h(ζ) である。
>>402 の最後より h(ζ) が Φ_0 で定まる素因子で割れるためには
Ψ(η)h(ζ) ≡ 0 (mod p) が必要十分である。
このことから命題の主張は明らかである。
証明終