>>401 の続き。

A の元、つまり f 項周期から構成される円分整数 Ψ(η) で
以下の条件を満たすものを考える。
ここで、η は f 項周期の組 η_0, ..., η_(e-1) を略したもので、
Ψ(η) は η_0, ..., η_(e-1) の多項式表現である(>>333)。
このように書くのは Ψ(η) が f 項周期から構成される円分整数
であることを明示するためである。

1) Ψ(η) は Φ_0 で定まる素因子で割れない。
2) i ≠ 0 のとき、Ψ(η) は Φ_i で定まる素因子で割れる。

このような Ψ(η) が存在することは後で示す。
ここでは、Ψ(η) の存在を認めることにする。
円分整数 f(ζ) に対して
Ψ(η)f(ζ) ≡ 0 (mod p) とする。

Φ_0(p) = 0 だから p は Φ_0 で定まる素因子で割れる。
よって、Ψ(η)f(ζ) もΦ_0 で定まる素因子で割れる。
条件 1) より Ψ(η) は Φ_0 で定まる素因子で割れない。
よって f(ζ) はΦ_0 で定まる素因子で割れる。
このことは、Φ_0(Ψ(η)f(ζ)) = Φ_0(Ψ(η))Φ_0(f(ζ)) = 0 と、
Φ_0(Ψ(η)) ≠ 0 より分かる。

逆に、f(ζ) は Φ_0 で定まる素因子で割れると仮定する。
明らかに Ψ(η)f(ζ) もΦ_0 で定まる素因子で割れる
一方、条件 2) より i ≠ 0 のとき、Ψ(η)f(ζ) は Φ_i で定まる
素因子でも割れる。よって、>>401 の最後より Ψ(η)f(ζ) は
p で割れる。

以上から Ψ(η)f(ζ) ≡ 0 (mod p) であるためには、
f(ζ) が Φ_0 で定まる素因子で割れることが必要十分である。