>>394, >>398, >>399 の続き。

Hom(Z[ζ], Ω)/〜 の各類から代表元 Φ_0, ..., Φ_(e-1) を
とる。
Φ_0(η_0) = v_0
Φ_0(η_1) = v_1
.
.
Φ_0(η_(e-1)) = v_(e-1)
とおく。>>351 より各 v_i は F の元である。
>>366, >>399 より他のΦ_i の A への制限は
(v_0, v_1, ..., v_(e-1)) の巡回順列から得られる。

円分整数 f(ζ) に対して Φ_i(f(ζ)) = 0 となるとき、
f(ζ) は Φ_i で定まる素因子で割れると言う。
未だ素因子の定義をしてないが、便宜上 Φ_i(f(ζ)) = 0
となることをこう言う。

1 + X + ... + X^(λ-1) を mod p で既約多項式に分解し、
1 + X + ... + X^(λ-1) ≡ G_0(X)G_1(X)...G_(e-1)(X) (mod p)
とする。各 G_i(X) は mod p で既約でモニックな多項式である。
>>394 より 各Φ_i に G_i(X) が対応すると仮定してよい。
Φ_i(f(ζ)) = 0 となるためには、
>>358 より f(X) ≡ 0 mod (p, G_i(X)) となることが必要十分である。

よって、各 i, 0 ≦ i ≦ e-1 で Φ_i(f(ζ)) = 0 となれば
>>345 と同様にして f(ζ) は p で割れることが分かる。
逆にf(ζ) が p で割れれば 各 i で Φ_i(f(ζ)) = 0 となることは
明らかである。

つまり、f(ζ) が p で割れるための必要十分条件は
各 i で f(ζ) がΦ_i で定まる素因子で割れることである。