>>358 の続き。

f 項周期から構成される円分整数のなす環を A とおく。
>>329 より Z[ζ] の元は 1, ζ, ..., ζ^(f-1) の A 係数の一次結合
として表される。

有理数体 Q 上 ζ で生成される体 Q(ζ)は Z[ζ] の商体である。
A の商体を L とする。L は Q(ζ) の部分体とみなす。
>>329 で定義したσを使う。
τ = σ^e とおけば、1, τ, τ^2, ..., τ^(f-1) は
拡大 Q(ζ)/L の自己同型である。
よって、Q(ζ) の L 上の拡大次数は f 以上である。
一方、>>329 の P(X) は次数 f の A 係数のモニックな多項式で
P(ζ) = 0 であるから Q(ζ) の L 上の拡大次数は f 以下、
従って f である。
よって >>329 の P(X) は A の商体 L 上 の多項式として既約である。
よって、1, ζ, ..., ζ^(f-1) は L 上、従って A 上一次独立である。