>>357 の続き。

φとψを Hom(Z[ζ], Ω)の元とする。
Ker(φ) = Ker(ψ) のとき φ と ψ は同値といい、φ〜ψ と書く。
これが同値関係であることは明らかだろう。
集合 Hom(Z[ζ], Ω) をこの同値関係で分類したときの各同値類の
元の個数は >>357 より f である。よって同値類の個数は
e = (λ-1)/f である。

Ker(φ)を決定しよう。
φ(ζ) を根とする F 係数のモニックな多項式を g(X) とする。
φ(ζ) は 1 + X + ... + X^(λ-1) の根でもあるから、
g(X) は 1 + X + ... + X^(λ-1) を割る。
G(X) を Z 係数のモニックな多項式で、それを mod p で還元して
得られる多項式が g(X) とする。
f(X) ∈ Z[X] で φ(f(ζ)) = 0 とする。
>>340 と同様にして f(X) は mod p で G(X) で割れることが分かる。
つまり、f(X) ≡ 0 mod (p, G(X)) である。
逆に、f(X) ≡ 0 mod (p, G(X)) なら φ(f(ζ)) = 0 である。
よって、Ker(φ) は g(X) で決まることが分かる。
つまり、Hom(Z[ζ], Ω) の同値類は 1 + X + ... + X^(λ-1) の
F[X] での既約因子と１対１に対応する。