Z[ζ] から Ω への環としての準同型写像の全体を
Hom(Z[ζ], Ω) と書く。
Hom(Z[ζ], Ω) の元は多項式 1 + X + ... + X^(λ-1)
の Ω における任意の根で定まる。よって、Hom(Z[ζ], Ω)の
元の個数は λ-1 個である。

φとψを Hom(Z[ζ], Ω)の元とする。
1 + X + ... + X^(λ-1) の Ω における根の１つを ω とすれば
他の根は ω のベキとなる。
よって、φ(ζ) は ω のベキとなり、逆も言える。
よって、φ(Z[ζ]) = F(ω) である。
同様に、ψ(Z[ζ]) = F(ω) である。

>>347 から F(ω) は p^f 個の元からなる有限体である。

F(ω) の自己同型は u で生成される位数 f の巡回群
G = {1, u, u^2, ..., u^(f-1)} である。
ここで u は F(ω) の元 x に対して u(x) = x^p とで定義されるもの。

G の元 u^i, 0 ≦ i ≦ f - 1 に対して (u^i)φ は Hom(Z[ζ], Ω) の
元である。(u^i)φ(ζ) = φ(ζ)^(p^i) だから
0 ≦ i, j ≦ f - 1 で i ≠ j なら (u^i)φ ≠ (u^j)φ である。
0 ≦ i ≦ f - 1 なら φ と (u^i)φ の核は一致することは
明らかだろう。この逆が成立つことを示そう。

ψを Hom(Z[ζ], Ω)の元として、Ker(φ) = Ker(ψ) とする。
x, y ∈ Z[ζ] で φ(x) = φ(y) なら x - y ∈ Ker(φ) = Ker(ψ)
だから ψ(x) = ψ(y) である。よって φ(x) に対して ψ(x) は
一意に決まる。φ(x) に ψ(x) を対応させる写像を v とすれば、
v が F(ω) の自己同型であることは明らかだろう。
よって、0 ≦ i ≦ f - 1 となる i があって v = u^i となる。
vφ = ψ だから ψ = (u^i)φ である。