p を有理素数で p ≠ λとし、 f を mod λでの p の指数とする。
r を mod λ の原始根とする。
σ(ζ) = ζ^r で Z[ζ] の自己同型σを定義する。

p を割る円分素数が必ずしも存在しない場合を考える。

F = Z/pZ とおく。
F の代数的閉包を Ω とする。以後 F の代数拡大体と、
F 係数の多項式の根は Ω の中で考える。

1 + X + ... + X^(λ-1) を mod p で既約多項式に分解する。
つまり、
1 + X + ... + X^(λ-1) ≡ G_0(X)G_1(X)...G_(e-1)(X) (mod p)
とし、各 G_i(X) は mod p で既約でモニックな多項式とする。

多項式 X^λ- 1 の微分は λX^(λ-1) であり、p ≠ λ だから
これは mod p で 0 ではない。よって X^λ- 1 は mod p で重根を
持たない。よって、1 + X + ... + X^(λ-1) も mod p で重根を
持たない。よって、各 G_i(X) は互いに異なる。
G_i(X) の各係数を mod p で還元して得られる F 係数の多項式
を g_i(X) と書く。g_0(X) の根の１つをωとする。
F(ω) は有限体である。g_0(X) の次数を k とすると F(ω) の元の
個数は p^k である。
ω は 1 + X + ... + X^(λ-1) の根でもあるから ω^λ = 1 である。
よって、F(ω) において X^λ- 1 は λ個の相異なる根を持つ。
よって >>327 と同じ論法で k = f である。
同様に 他の g_i(X) の次数も f である。