>>340 の続き。

1 ≦ i ≦ e - 1 のとき Z[ζ] の元 g(ζ) に対して
g(X) ≡ 0 mod (p, G_i(X)) はどういう意味があるのだろうか？

始めに i = 1 の場合を考える。
>>338 において σ(ζ) = ζ^r で Z[ζ] の自己同型σを定義した。
σ とΦの合成写像 Φσ: Z[ζ] → Z[ζ] → F(ω) を考える。
これは Z[ζ] から F(ω) への準同型写像である。
Φσ(g(ζ)) = Φ(g(ζ^r)) = g(ω^r) である。
G_1(X) は mod p で既約で G_1(ω^r) = 0 だから
g(ω^r) = 0 であるためには g(X) ≡ 0 mod (p, G_1(X)) となることが
必要十分である。 一方 Φ(g(ζ^r)) = 0 であるためには
g(ζ^r) が f(ζ) で割れることが必要十分である。
これは g(ζ) が f(σ^(-1)(ζ)) で割れることと同値である。
つまり、g(X) ≡ 0 mod (p, G_1(X)) と g(ζ) が f(σ^(-1)(ζ)) で
割れることは同値である。

同様にして、g(X) ≡ 0 mod (p, G_i(X)) と g(ζ) が
f(σ^(-i)(ζ)) で割れることは同値である。