>>339 の続き。

F = Z/pZ とおく。

Z[ζ] の元 g(ζ) に g(ζ) が代表する mod f(ζ) による剰余類
g(ω) を対応させることにより、Z[ζ] から 有限体 F(ω) への
準同型写像 Φが得られる。つまり Φ(g(ζ)) = g(ω) である。
Φ は明らかに全射である。

G_0(X) は mod p で既約で G_0(ω) = 0 だから
Φ(g(ζ)) = g(ω) = 0 なら、g(X) は mod p で G_0(X) で割れる。
つまり、 g(X) = G_0(X)Q(X) + pH(X) となる Q(X), H(X) ∈ Z[X]
がある。このことを g(X) ≡ 0 mod (p, G_0(X)) と書く。
逆に、g(X) ≡ 0 mod (p, G_0(X)) なら g(ω) = 0 である。

一方、定義からΦ(g(ζ)) = 0 と g(ζ) が f(ζ) で割れることは
同値である。よって、g(ζ) が f(ζ) で割れるためには
g(X) ≡ 0 mod (p, G_0(X)) となることが必要十分である。