>>338 の続き。

(X - ζ)(X - σ^e(ζ))...(X - σ^((f-1)e)(ζ))
≡ G_0(X) (mod f(ζ))
だから 両辺の X に ζ を代入して
G_0(ζ) ≡ 0 (mod f(ζ))
となる。

よって ζ が代表する mod f(ζ) の剰余類を ω とすれば
ω は Z/pZ 上 f 次の多項式 G_0(X) (mod p) の根となる。
一方、mod f(ζ) の剰余類の個数は >>314, >>327 より p^f である。
よって、ω の Z/pZ 上 の次数は f である。
よって G_0(X) は mod p で既約である。

同様に、ω^r は G_1(X) (mod p) の根となる。
r は λと素だから、ω = (ω^r)^i となる有理整数 i がある。
よって (Z/pZ)(ω) = (Z/pZ)(ω^r) である。
よって、ω^r の Z/pZ 上 の次数は f である。
よって G_1(X) は mod p で既約である。

以下同様に、G_2(X), ..., G_(e-1)(X) も mod p で既約である。
従って >>338 で得た合同式
1 + X + ... + X^(λ-1) ≡ G_0(X)G_1(X)...G_(e-1)(X) (mod p)
は 1 + X + ... + X^(λ-1) の mod p での既約多項式への分解を
与えている。

G_0(X), G_1(X), ..., G_(e-1) が mod p で互いに異なることは、
1 + X + ... + X^(λ-1) が mod p で重根を持たないことから明らか
である。