p を有理素数で p ≠ λとし、 f を mod λでの p の指数とする。
f(ζ) を p を割る円分素数とする。
mod f(ζ) の剰余類の個数は >>314, >>327 より p^f である。
このことは次のようにしても分かる。

r を mod λ の原始根とする。つまり r が属す mod λ の剰余類が
有限体 Z/λZ の乗法群の生成元となるようなものとする。
ζ を ζ^r に対応させることにより Z[ζ] の自己同型が得られるが、
これを σ で表す。つまり、円分整数 f(ζ) に対して
σ(f(ζ)) = f(ζ^r) である。

不定元 X の多項式
P(X) = (X - ζ)(X - σ^e(ζ))...(X - σ^((f-1)e)(ζ))
を考える。

P(X) の係数は σ^e で不変である。よって f 項周期から構成される
円分整数である(>>269)。

f 項周期から構成される円分整数の全体を A とおく。
A は Z[ζ] の部分環である。
P(X) は次数 f の A 係数のモニックな多項式で P(ζ) = 0 であるから
Z[ζ] は A-加群として 1, ζ, ..., ζ^(f-1) で生成される。
つまり、Z[ζ] = A + Aζ + ... + Aζ^(f-1) である。
1, ζ, ..., ζ^(f-1) は A 上の自由基底であるがこの証明は
後で述べる。