>>314
>p を有理素数で p ≡ 0 または 1 (mod λ) とはならないとし、
>f を mod λでの p の指数とする。
>f(ζ) を p を割る円分素数とする。
>Nf(ζ) = p^f となることを証明しよう。

K = Z[ζ]/(f(ζ)Z[ζ]) は有限整域だから有限体である。
>>314より その元の個数は Nf(ζ) である。
Z[ζ]/(f(ζ)Z[ζ]) は 有限素体 F = Z/pZ の有限次拡大体だから、
その拡大次数を r とすれば、Nf(ζ) = p^r である。

ζ の mod f(ζ) の剰余類を ωとする。
K は体として F 上 ω で生成される。つまり K = F(ω) である。
F 上の多項式 X^λ - 1 を考える。
λ ≠ p だからこの多項式は重根をもたない。
ω^λ = 1 だから、この多項式は K において λ個の根を持つ。
これ等の根は L の乗法群の部分群であるから
p^r - 1 は λで割れる。つまり p^r ≡ 1 (mod λ) である。
このことは >>203 からも分かる。
よって、r は f で割れる。

>>326 より p^f 個の元からなる K の部分体 L がある。
p^f ≡ 1 (mod λ) だから L において X^λ - 1 はλ個の根を持つ。
よって ω ∈ L である。よって K = L だから r = f である。
証明終