補題
p を有理素数とし、n ≧ 1 を有理整数、 m ≧ 1 をその約数とする。
K を 有限素体 F = Z/pZ の n 次の拡大体とする。
このとき F の m 次の拡大体 L で K の部分体となるものがただ１つ
存在する。

証明
n = mr とする。

公式
X^r - 1 = (X - 1)(1 + X + ... + X^(r-1))
において X = p^m とおくと、
p^n - 1 = (p^m - 1)(1 + p^m + ... + (p^m)^(r-1))
となる。
よって p^m - 1 は p^n - 1 の約数である。

K の乗法群は位数 p^n - 1 の巡回群である
(この証明は mod p の原始根の存在の証明と同様)。
よって、位数 p^m - 1 の部分群 H が存在する。
H の元は X^(p^m - 1) - 1 の根全体である。
よって L = H ∪ {0} とおくと L の元は X^(p^m) - X の根全体である。

>>322 を使って K の自己同型 u を u(x) = x^p で定義する。
L = {x; u^m(x) = x} である。これから容易にわかるように
L は体である。L の元の個数は p^m だから F の m 次の拡大体である。

逆に F の m 次の拡大体 L で K の部分体となるものがあれば
L の元の個数は p^m であり L の元は X^(p^m) - X の根全体である。
よって L は一意に決まる。
証明終