後で引用するため補題を用意する。

補題
p を有理素数ととし、n ≧ 1 を有理整数とする。
K を 有限素体 F = Z/pZ の n 次の拡大体とする。
K の元 x に対して u(x) = x^p とおくと、u は K/F の
自己同型写像である。

証明
x, y を K の２元とする。

>>304 より u(x + y) ≡ u(x) + u(y) (mod pK)
であるが、pK = 0 だから
u(x + y) = u(x) + u(y) である。
u(1) = 1, u(xy) = u(x)u(y) は明らかである。
よって u は K の自己順同型写像である。

K は体だから x ≠ 0 なら u(x) ≠ 0 である。
よって u は単射である。K は有限集合だから u は全射である。
よって u は K の自己同型写像である。
Fermat の小定理より x ∈ F のとき x^p = x だから u は K/F の
自己同型写像である。
証明終