p を有理素数で p ≡ 0 または 1 (mod λ) とはならないとし、
f を mod λでの p の指数とする。f(ζ) を p を割る円分素数とする。
>>297 で円分整数 g(ζ) が mod f(ζ) で有理整数と合同、
つまり g(ζ) ≡ k (mod f(ζ)) となる有理整数 k があるなら、
g(ζ^p) ≡ g(ζ) (mod f(ζ)) となり、
この条件は g(ζ) が f 項周期から構成される円分整数(>>269)なら
満たされることを見た。

逆に f 項周期から構成される円分整数は mod f(ζ) で有理整数と合同
となることを示そう。
η を f 項周期 η_0, η_1, ... , η_(e-1) の任意の１つとして、
η ≡ k (mod f(ζ)) となる有理整数 k があることを示せばよい。

標数 p の素体 Z/pZ 上の多項式環 (Z/pZ)[X] において
等式 X^p - X = (X - 1)(X - 2)...(X - p) が成立つ
(これはFermatの小定理からただちに出る)。
(Z/pZ)[X] は標準的に Z[X]/pZ[X] と同型だから、
X^p - X ≡ (X - 1)(X - 2)...(X - p) (mod pZ[X])
となる。よって、
X^p - X = (X - 1)(X - 2)...(X - p) + pG(X) となる G(X) ∈ Z[X]
がある。よって、
η^p - η ≡ (η - 1)(η - 2)...(η - p) (mod pZ[ζ])

η を η = g(ζ) と ζ の多項式で表せば、>>297 で述べたように
g(ζ)^p ≡ g(ζ^p) (mod pZ[ζ]) となる。
一方 >>297 より g(ζ^p) = g(ζ) である。
よって、η^p - η ≡ 0 (mod pZ[ζ]) となる。
よって、(η - 1)(η - 2)...(η - p) ≡ 0 (mod pZ[ζ]) となる。
仮定より f(ζ) は p を割るから、。
(η - 1)(η - 2)...(η - p) ≡ 0 (mod f(ζ)) となる。
f(ζ) は円分素数だから η - 1, ..., η - p のどれかを割る。
η - k を割るとすれば、η ≡ k (mod f(ζ)) である。