今度は、p ≡ 0, 1 (mod λ) 以外の有理素数 p を割る円分素数に
ついて調べる。

f(ζ) をそのような円分素数とする。
円分整数 g(ζ) が mod f(ζ) で有理整数と合同、
つまり g(ζ) ≡ k (mod f(ζ)) となる有理整数 k があるとする。
このとき、g(ζ) が f(ζ) で割れるかどうかを判定するのは簡単である。
即ち、k ≡ 0 (mod p) となるかどうかを見ればいい。
よって、このような円分整数 g(ζ) の満たす性質を調べることにする。

Fermatの小定理より、k^p ≡ k (mod p) だから k^p ≡ k (mod f(ζ))
であり g(ζ)^p ≡ k^p ≡ k ≡ g(ζ) (mod f(ζ)) となる。
一方、すぐ後で示すように g(ζ)^p ≡ g(ζ^p) (mod p) が成立つ。
よって、g(ζ^p) ≡ g(ζ) (mod f(ζ))
特に、g(ζ^p) = g(ζ) であれば、当然この合同式を満たす。

p の mod λ の指数を f とする。つまり f は p^f ≡ 1 (mod λ)
となる最小の有理整数である。
Z[ζ] の自己同型τを τ(ζ) = ζ^p で定義すれば、
τの位数は f であり、τ(g(ζ)) = g(ζ^p) = g(ζ) である。

r を mod λ の原始根とし、Z[ζ] の自己同型σを σ(ζ) = ζ^r で
定義すれば、Z[ζ] の自己同型群は σ で生成される位数λ-1 の
巡回群 G である。よってその位数 f の部分群はただ1つで σ^e で
生成される。ここに、e = (λ-1)/f である。
τの位数は f だから σ^e は τ のベキであり、
(σ^e) (g(ζ)) = g(ζ) である。
つまり、、g(ζ^p) = g(ζ) となる g(ζ) は f 項周期から構成される
円分整数(>>269)である。