p = 47 として N(f(ζ)) = p となる円分整数があるとする。
>>292 より 47 = a^2 -ab + 6b^2 となる有理整数 a, b がある。
この等式の両辺を 4 倍して
4・47 = 4a^2 - 4ab + 24b^2
188 = (2a - b)^2 + 23b^2

b^2 ≦ 4 である。

188 は平方数ではないから b = 0 では有り得ない。
b^2 = 1 とすると、188 - 23 = 165 = 5・33 が平方数となって
これも有り得ない。
b^2 = 4 とすると、188 - 92 = 96 = 3・2^5 が平方数となって
これも有り得ない。
よって、N(f(ζ)) = p となる円分整数は存在しない。