λ = 3 のとき、Z[ζ] は、Euclid環であることを証明する。

f(ζ) ≠ 0 と g(ζ) を円分整数とする。
g(ζ)/f(ζ) = r + sζ とする。 r と s は有理数である。
|r - m| ≦ 1/2, |s - n| ≦ 1/2 となる整数 m, n がある。

円分整数 q(ζ) = m + nζ に対して

N(r + sζ - (m + nζ)) = N(r - m + (s - n)ζ) =
(r - m)^2 - (r - m)(s - n) + (s - n)^2 ≦ 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
つまり、N(g(ζ)/f(ζ) - q(ζ)) ＜ 1 である。

ρ = g(ζ)/f(ζ) - q(ζ) とおく。
f(ζ)ρ = g(ζ) - f(ζ)q(ζ) ∈ Z[ζ]
よって、f(ζ)ρ = r(ζ) は円分整数である。

g(ζ) = f(ζ)q(ζ) + r(ζ)
N(r(ζ)) ＜ N(f(ζ))
である。
よって、Z[ζ] は、Euclid環である。