>>211 の続き

逆に、次の条件(ⅰ), (ⅱ) を満たす有理数があったとする。

(ⅰ) (1 + k + ... + k^(λ-1)) ≡ 0 mod p
(ⅱ) f(k) ≡ 0 mod p

このとき、ζ - k が f(ζ) で割れることを示そう。
>>190 より、(ζ - k)f(ζ^2)...f(ζ^(λ - 1)) が N(f(ζ)) = p で
割れることを示せばよい。

条件(ⅱ) の f(k) ≡ 0 mod p より f(X) ≡ (X - k)Q(X) mod p
となる Q(X) ∈ Z[X] がある。
よって、2 ≦ i ≦ λ - 1 となる i に対して、
f(ζ^i) ≡ (ζ^i - k)Q(ζ^i) mod p である。
よって、
(ζ - k)f(ζ^2)...f(ζ^(λ - 1)) ≡ N(ζ - k)R(ζ) mod p
となる。ここで R(ζ) はある円分整数。

ここで、N(ζ - k) ≡ 0 mod p を示せばよい。

>>197 の公式 N(a + bζ) = (a^λ + b^λ)/(a + b) より、
N(ζ - k) = (k^λ - 1)/(k - 1) = 1 + k + ... k^(λ - 1)
である。
よって 条件(ⅰ) より N(ζ - k) ≡ 0 mod p となる。

(続く)