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代数的整数論　＃003

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0001１３２人目の素数さん

2006/02/27(月) 14:44:48

9208 ◆lJJjsLsZzw氏に存分に
語ってもらうスレです。
シロート厳禁、質問歓迎！

前スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310

00029208 ◆lJJjsLsZzw

2006/02/27(月) 15:42:27

9208 #ore

とりあえず、新スレ作成のお礼を言っておく。
有難う。

代数的整数論というより可換環論みたいになってきているが、
まだ準備段階だし、いずれ本格的に代数体の整数論をやるので
心配なく。

00039208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/02/27(月) 15:45:20

ありゃ、ＩＤのパスワードを書いちゃったｗ
今度からこれにするのでよろしく。

00049208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/02/27(月) 18:23:21

命題
A をネーター局所環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x_1, ... x_r を M-切断列(前スレ２の967)とすると r ≦ dim(M) である。

証明
定義より、dim(M/x_1M + ... + x_rM) = dim(M) - r である。
M/(x_1M + ... + x_rM) = 0 とすると中山の補題(前スレ１の242)より
M = 0 となり仮定に反する。
よって、M/(x_1M + ... + x_rM) ≠ 0 だから、
dim(M/x_1M + ... + x_rM) ≧ 0 である(零加群の次元は -∞と定める)。
よって、r ≦ dim(M) である。
証明終

00059208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/02/28(火) 19:51:44

命題
A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
dim(M) = 0 と M の長さが有限なことは同値である。

証明
dim(M) の定義(前スレ２の943)より、dim(M) = dim(A/Ann(M)) である。
一方、前スレ１の161より、Supp(M) = V(Ann(M)) である。
よって、dim(M) = 0 は Supp(M) の元がすべて極大イデアルである
ことと同値である。

前スレ１の99より Ass(M) ⊂ Supp(M) となる。
よって、Supp(M) の元がすべて極大イデアルであるなら、
Ass(M) の元もすべて極大である。
よって、前スレ１の345より M は長さ有限である。

逆に M が長さ有限とすると、前スレ１の344より
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである。
証明終

00069208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/02(木) 10:44:46

命題
A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
x_1, ... x_r を rad(A) の元の列とする。
leng(M/(x_1M + ... + x_rM)) が有限なら dim(M) ≧ r となる。

証明
前スレ２の973より
dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ dim(M) - r となる。

一方、>>5 より、dim(M/(x_1M + ... + x_rM)) = 0 である。
よって、dim(M) ≧ r である。
証明終

00079208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/02(木) 10:48:21

>>6 の訂正

>leng(M/(x_1M + ... + x_rM)) が有限なら dim(M) ≧ r となる。

leng(M/(x_1M + ... + x_rM)) が有限なら dim(M) ≦ r となる。

>よって、dim(M) ≧ r である。

よって、dim(M) ≦ r である。

00089208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/02(木) 10:59:10

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S = {x_1, ..., x_r} を M-切断列(前スレ２の974)とする。
このとき S を含む M-切断列で包含関係で極大なものが存在する。

証明
>>4 より、r ≦ dim(M) である。
これより明らか。
証明終

00099208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/02(木) 11:50:43

前スレ２の967の補足

A をネーター局所環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
dim(M) = 0 のとき、空集合を M-切断列と考える。

00109208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/02(木) 12:07:29

>>9 の訂正
>A をネーター局所環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
>dim(M) = 0 のとき、空集合を M-切断列と考える。

A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
m の部分集合 S が空集合のとき、SM = 0 と定義する。
よって、空集合も M-切断列と考える。

00119208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/02(木) 15:27:06

補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
B = A/Ann(M) とおく。
S を m の有限部分集合とする。
S が M-切断列(前スレ２の974)であることと、
S が B-切断列であることとは同値である。

証明
S で生成される A のイデアルを I とする。
前スレ２の966より dim(M/SM) = dim(A/(Ann(M) + I)) である。
一方、A/(Ann(M) + I) = B/SB である。
これより、本補題の主張は明らか。
証明終

00129208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/02(木) 15:38:52

補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
dim(M) ≧ 1 なら１個の元からなる M-切断列が存在する。

証明
I = Ann(M)、B = A/I とおく。
dim(M) = dim(B) である。
前スレ２の971より
x ∈ m で dim(B/xB) = dim(B) - 1 となるものが存在する。
よって、x は B-切断列である。
よって、>>11 より、x は M-切断列でもある。
証明終

0013１３２人目の素数さん

2006/03/02(木) 17:52:24

廃墟

0014なんだって～～～

2006/03/02(木) 17:52:41

>>2-3

2 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/02/27(月) 15:42:27
9208 #ore

3 ：9208 ◆X2Eb5pqWTw ：2006/02/27(月) 15:45:20
ありゃ、ＩＤのパスワードを書いちゃったｗ
今度からこれにするのでよろしく。

0015１３２人目の素数さん

2006/03/02(木) 18:25:48

ななななな

0016１３２人目の素数さん

2006/03/02(木) 19:17:20

前スレ1000に感動

00179208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/03(金) 10:29:13

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。

Supp(M) の元 p で dim(M) = dim(A/p) となるものは、
Supp(M) の極小元であるから有限個である。
これ等を p_1, ..., p_r とする。

m の元 x が M-切断列となるためには
x がどの p_i にも含まれないことが必要十分である。

証明
I = Ann(M) とおく。

m の元 x がどの p_i にも含まれないとする。
仮定より、dim(A/(I + xA)) < dim(A/I) となる。
前スレ２の966より dim(M/xM) = dim(A/(I + xA)) である。
よって、dim(M/xM) < dim(M) となる。
一方、前スレ２の973 より dim(M/xM) ≧ dim(M) - 1 である。
よって、dim(M/xM) = dim(M) - 1 となる。
よって、x はM-切断列である。

逆に、m の元 x が dim(M/xM) = dim(M) - 1 を満たすとする。
dim(A/(I + xA)) < dim(A/I) となる。
これは、x がどの p_i にも含まれないことを意味する。
証明終

00189208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/03(金) 11:26:14

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
m の元 x が M-正則(前スレ１の179)ならM-切断列である。

証明
前スレ１の180より、x は Ass(M) のどの元にも含まれない。
前スレ１の166より、Ass(M) と Supp(M) のそれぞれの極小元の集合は
一致する。よって、x は Supp(M) のどの極小元にも含まれない。
よって、>>17 より x はM-切断列である。
証明終

00199208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/03(金) 12:51:17

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
M-切断列 S で |S| = dim(M) となるものが存在する。

証明
dim(M) に関する帰納法を使う。

dim(M) = 0 のときは、>>10 より空集合がM-切断列である。

dim(M) ≧ 1 とする。>>12 より m の元 x でM-切断列となるものが
存在する。dim(M/xM) = dim(M) - 1 だから、帰納法の仮定より、
(M/xM)-切断列 T があり、|T| = dim(M) - 1 である。
前スレ２の976より、S = {x} ∪ T は M-切断列であり、
|S| = dim(M) である。
証明終

00209208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/03(金) 17:39:38

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
S を m の有限部分集合とすると以下の条件は同値である。
1) S は極大なM-切断列である。
2) S はM-切断列で、|S| = dim(M) である。
3) leng(M/SM) ＜ ∞ で |S| = dim(M) である。
4) S はM-切断列で、leng(M/SM) ＜ ∞ である。

証明
1) ⇒ 2)
dim(M/SM) > 0 とすると、>>12 より x ∈ m で (M/SM)-切断列と
なるものが存在する。
前スレ２の976より、T = {x} ∪ S は M-切断列であり、S の極大性に反する。
よって、dim(M/SM) = 0 である。S は M-切断列だから、
dim(M/SM) = dim(M) - |S| である。よって |S| = dim(M) である。

2) ⇒ 3)
S が M-切断列なら dim(M/SM) = dim(M) - |S| である
よって |S| = dim(M) なら、dim(M/SM) = 0 である。
>>5 より leng(M/SM) ＜ ∞ である。

3) ⇒ 4)
leng(M/SM) ＜ ∞ なら >>5 より dim(M/SM) = 0 である。
よって |S| = dim(M) なら、dim(M/SM) = dim(M) - |S| となり、
S はM-切断列である。

4) ⇒ 1)
S が極大でないとする。S を含む M-切断列 T で S ≠ T となるものが
ある。前スレ２の976より T - S は (M/SM)-切断列である。>>4 より、
dim(M/SM) ≧ |T - S| ≧ 1 となり、leng(M/SM) ＜ ∞ に矛盾する。
証明終

00219208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/03(金) 18:02:57

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
m の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列(前スレ２の941)なら
M-切断列である。

証明
r に関する帰納法を使う。
r = 1 のときは、>>18 で証明されている。
r > 1 とし、x_1, ..., x_(r-1) は M-切断列とする。
M-正則列の定義(前スレ２の941)より、
x_r は M/(x_1M + ... x_(i-1)M) に関して正則である。
よって、>>18 より、x_r は M/(x_1M + ... x_(i-1)M) の切断列である。
よって、前スレ２の976より、x_1, ..., x_r はM-切断列である。
証明終

00229208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/03(金) 18:07:54

定義
A をネーター局所環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
極大な M-切断列を M のパラメータ系(system of parameters)と言う。

00239208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/07(火) 16:05:52

局所環の深さ(depth)は、Auslander-Buchsbaum により可換代数への
ホモロジー代数の応用という立場から、1956年の論文で定義された。
意外なことに最初彼等は、深さの定義に使われる
極大正則列の長さが一定であるという基本的事実の証明に完備局所環の
構造定理を使用するというやや強引な方法を使った。
理由は、当時彼等がその証明しか知らなかったため。
ただし、翌年の論文ではKoszul複体を使ったより簡単な証明を
紹介している。

ここでは、Ext関手を使った証明をする。

ホモロジー代数の基礎については既知と仮定する。
ホモロジー代数の入門書については Cartan-Eilenberg が今でもベスト
だろうが、ここで使う程度なら河田でも間に合うし、松村の可換環論の
付録でもいい。

ただし、ホモロジー代数は類体論でも使われるので、
後でその基礎を述べるかも知れない。

00249208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/08(水) 16:33:46

補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
m ∈ Ass(M) であるためには m のすべての元が M に関して非正則
(前スレ１の179)であることが必要十分である。

証明
m ∈ Ass(M) なら、前スレ１の89より m のすべての元が
M に関して非正則である。

逆に、m のすべての元が M に関して非正則とする。
Ass(M) = {p_1, ..., p_r} とする。
前スレ１の180より m ⊂ p_1∪...∪p_r となる。
前スレ１の579より m ⊂ p_i となる i がある。
m は極大だから m = p_i である。よって、m ∈ Ass(M) である。
証明

00259208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/09(木) 10:06:51

補題
A をネーター環とし、m をその極大イデアル、
M を有限生成 A-加群とする。
m ∈ Ass(M) であるためには、Hom(A/m,M) ≠ 0 であることが
必要十分である。

証明
前スレ１の93より、m ∈ Ass(M) であるためには
A-加群としての単射 A/m → M が存在することが必要十分である。
m は極大イデアルだから、これは Hom(A/m,M) ≠ 0 と同値である。
証明終

00269208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/09(木) 11:25:03

補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
m のすべての元が M に関して非正則(前スレ１の179)であるためには
Hom(A/m,M) ≠ 0 であることが必要十分である。

証明
>>24と>>25より。
証明終

00279208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/09(木) 11:49:21

A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
特に断らない限り、M-正則列(前スレ２の941)は m の元から
なるものとする。

00289208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/09(木) 11:51:40

定義
Aを環とし、MをA-加群とする。
A の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列であるとき、
r をこの M-正則列の長さと呼ぶ。

00299208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/09(木) 12:34:04

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
k = A/m とおく。
n > 0 を整数とし、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(k, M) = 0
であれば、長さ(>>28) n の M-正則列が存在する。

証明
n に関する帰納法を使う。
Ext^0(k, M) = Hom(k, M) だから、n = １のときは、
>>26 で証明されている。

よって n ≧ 2 と仮定する。
Hom(k, M) = 0 だから、>>26 より x ∈ m で M-正則なものがある。
x による乗法で定義される射: M → M を考える。
x は M-正則だから次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/xM → 0

これから次の完全列が得られる。

Ext^i(k, M) → Ext^i(k, M/xM) → Ext^(i+1)(k, M)

ここで、i は任意の整数 i ≧ 0 である。
仮定より、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(k, M) = 0 だから、
0 ≦ i ≦ n - 2 のとき Ext^i(k, M/xM) = 0 である。

帰納法の仮定を M/xM に適用すれば、長さ n - 1 の (M/xM)-正則列
x_2, ..., x_n が存在する。
よって、x, x_2, ..., x_n は M-正則列となり、長さは n である。
証明終

00309208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/09(木) 16:10:57

補題
A を環とし、N, M を A-加群とする。
x を A の元とし xN = 0 とする。
i ≧ 0 を任意の整数とすると、x(Ext^i(N, M)) = 0 となる。

証明
I を任意の A-加群とし、f: N → I を A-加群の射とする。
t を I の任意の元とすると、仮定より xt = 0 だから、
xf(t) = f(xt) = 0 である。
よって、x(Hom(N, I)) = 0 である。

M の任意の単射的分解(injective resolution) を

0 → M → I^0 → I^1 → ...

とすれば、Ext^i(N, M) = H^i(Hom(N, I^*)) である。
ここで、I^* は複体 (I^n), n = 0, 1, ... を表す。

上で述べたことより、x(Hom(N, I^i)) = 0 だから、
x(Ext^i(N, M)) = 0 となる。
証明終

0031１３２人目の素数さん

2006/03/14(火) 15:51:17

このスレ

　～～～終了～～～

00329208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/14(火) 16:58:13

補題
A を環とし、N, M を A-加群とする。
x を A の元とし x による乗法で定義される射 M → M を x_M と書く。
p ≧ 0 を任意の整数とする。
x_M により誘導される射 Ext^p(N, M) → Ext^p(N, M) は
x による乗法で定義される射 Ext^p(N, M) → Ext^(N, M) と一致する。

証明
N の射影的分解(projective resolution) による Ext^p(N, M) の
定義を考えれば明らか。
証明終

00339208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/14(火) 17:11:33

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
k = A/m とおく。
長さ(>>28) n の M-正則列が存在するとするなら、
p ≦ n - 1 のとき Ext^p(k, M) = 0 となる。

証明
x_1, ..., x_n を M-正則列とする。

x_1 による乗法で定義される射: M → M を考える。
x_1 は M-正則だから次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/(x_1)M → 0

これから次の完全列が得られる。

Ext^(p-1)(k, M/(x_1)M) → Ext^p(k, M) → Ext^p(k, M)

M/(x_1)M は長さ n - 1 の正則列をもつから、
帰納法の仮定より、p ≦ n - 1 のとき Ext^(p-1)(k, M/(x_1)M) = 0 である。

即ち、p ≦ n - 1 のとき次の完全列が得られる。

0 → Ext^p(k, M) → Ext^p(k, M)

>>32 より、Ext^p(k, M) → Ext^p(k, M) は x_1 による乗法である。

一方、k は A-加群として、m の元で零化される。特に (x_1)k= 0 である。
よって、>>30 より (x_1)(Ext^p(k, M)) = 0 である。
よって、Ext^p(k, M) = 0 である。
証明終

00349208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/14(火) 17:23:25

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
任意の M-正則列の長さは dim(M) 以下である。

証明
>>21 より、M-正則列は M-切断列である。
>>4 よりこの長さは dim(M) 以下である。
証明終

00359208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/14(火) 18:29:46

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
k = A/m とおく。
極大な M-正則列の長さは正則列の取り方によらず一定である。
この長さは inf{p; Ext^p(k, M) ≠ 0} に等しい。

証明
>>34 から M-正則列の長さは dim(M) 以下である。
よって、>>29 より Ext^p(k, M) ≠ 0 となる整数 p ≧ 0 が
存在する。よって、n = inf{p; Ext^(k, M) ≠ 0} とおけば、
n は有限である。>>29 と >>33 より極大な M-正則列の長さは
n である。
証明終

0036BW of Tama King

2006/03/14(火) 18:31:36

（　＾ω＾）「ネーター」なのか「ネター」なのか？両方見かけるお

0037UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng　◇sdjswswh

2006/03/14(火) 18:32:50

>>36 人の名前つかったままに刷るなよ。

0038BW of Tama King

2006/03/14(火) 18:34:43

>>37 （　＾ω＾）全然違う名前だお

0039UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng　◇sdjswswh

2006/03/14(火) 18:35:40

（　＾ω＾）ごめんだお

0040UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng　◇sdjswswh

2006/03/14(火) 18:38:17

>>39 レスアンカーのつけ方を会得したほうがよいだろう？

0041UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng　◇sdjswswh

2006/03/14(火) 18:39:29

>>40
（　＾ω＾）会得したお

0042UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng　◇sdjswswh

2006/03/14(火) 18:40:18

>>41 だから何？

0043UnitedNiceKindOptional of Tama Kinng　◇sdjswswh

2006/03/14(火) 18:40:48

>>42
（　＾ω＾）ただの報告だお

0044１３２人目の素数さん

2006/03/14(火) 18:48:22

逝って良し

0045１３２人目の素数さん

2006/03/14(火) 19:39:33

【積年の】旦那にしてる密かな仕返し【恨みじゃー】
http://human5.2ch.net/test/read.cgi/ms/1141694640/

8 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/07(火) 11:05:23 ID:8dtluKkp
夫の歯ブラシで洗面所の排水溝掃除。
洗面所をビショビショに汚した罰だ。

20 名前：可愛い奥様[age] 投稿日：2006/03/08(水) 00:40:17 ID:pRrk6A21
前に頭きた時あって
１度だけ歯ブラシで肛門カキカキしちゃった

22 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/08(水) 01:27:12 ID:gU5mHc7J
よかった。どこのお宅も同じようなことしてて。

24 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/08(水) 01:36:35 ID:SSSFsTqE
そうそう、ヘンなモノはダンナのお皿へ直行だよね。

41 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/08(水) 11:55:18 ID:sjj+/60Q
見てるだけで気が晴れるな！
皆さん、頑張ってね！

42 名前：可愛い奥様[sage] 投稿日：2006/03/08(水) 20:33:51 ID:Ju2N1s7+
年金分割が楽しみじゃのう

63 名前：可愛い奥様[] 投稿日：2006/03/10(金) 08:55:20 ID:qLfJYpJR
家族で密かにはぶっている。

男性は肉体が汚く、精神が美しい傾向がある。（気に入らない相手に肉体的攻撃を加える⇒精神的攻撃も加える男は猛者）
女は肉体が美しく、精神が汚い傾向がある。（気に入らない相手に精神的攻撃を加える⇒肉体的攻撃も加える女は猛者）
女は隠れて悪事をする。気に入らない女子を便所でボコったり、便器舐めさせたり、男の友人を使ってレイプ、仲間外れにしたり。陰口、嫉妬。
女は対人関係において、この汚い性格を隠そうとするため、外面が非常によくなる。（猫かぶり）
男性諸君は外面に騙されないように気を付けて下さい。

00469208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/15(水) 11:01:35

>>35 を参考にして以下の定義をする。

定義
A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。
inf {p; Ext^p(A/I, M) ≠ 0} を M の I に関する深さ(depth) と呼び
depth(I, M) と書く。

任意の整数 p ≧ 0 に対して Ext^p(A/I, M) = 0 のときは
depth(I, M) = ∞ とする。

A が局所環で m がその極大イデアルのとき、depth(m, M) を
単に depth(M) と書く。

00479208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/15(水) 16:16:56

命題
A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。
x を I の元で M-正則とする。
depth(I, M) が有限なら、depth(I, M/xM) = depth(I, M) - 1 となる。

証明
depth(I, M) = n とおく。
x による乗法により次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/xM → 0

これから次の完全列が得られる。

Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M/xM) → Ext^p(A/I, M)

depth(I, M) の定義(>>46)より
p ≦ n - 1 のとき Ext^(p-1)(A/I, M) = 0 だから

0 → Ext^(p-1)(A/I, M/xM) → 0

が完全となり、Ext^(p-1)(A/I, M/xM) = 0 となる。

p = n のときは、Ext^(n-1)(A/I, M) = 0 だから次の完全列が得られる。

0 → Ext^(n-1)(A/I, M/xM) → Ext^n(A/I, M) → Ext^n(A/I, M)

>>32 より Ext^n(A/I, M) → Ext^n(A/I, M) は x による乗法で
引き起こされ、>>30 より xExt^n(A/I, M) = 0 だから、
Ext^(n-1)(A/I, M/xM) → Ext^n(A/I, M) は同型である。
よって Ext^n(A/I, M) ≠ 0 だから Ext^(n-1)(A/I, M/xM) ≠ 0 である。
よって、depth(I, M/xM) = n - 1 である。
証明終

00489208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/15(水) 17:55:58

命題
A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。
I の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列(前スレ２の941)で
depth(I, M) が有限なら
depth(I, M) = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r となる。

証明
r に関する帰納法を使う。
r = 1 のときは >>47 で証明されている。

r > 1 とする。
N = M/x_1M とおく。
>>47 より depth(I, N) = depth(I, M) - 1 だから、
depth(I, N) は有限である。
x_2, ..., x_r は N-正則列だから、帰納法の仮定より、
depth(I, N) = depth(I, N/(x_2N + ... + x_rN)) + r - 1 となる。

depth(I, N) = depth(I, M) - 1 であり、
N/(x_2N + ... + x_rN) = M/(x_1M + ... + x_rM) であるから、
depth(I, M) - 1 = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r - 1 となる。
よって、depth(I, M) = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r となる。
証明終

0049中川秀泰

2006/03/15(水) 18:03:40

呼んでねーよターーコ

00509208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/15(水) 18:12:11

命題
A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。
I の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列(前スレ２の941)なら、
r ≦ depth(I, M) である。

証明
depth(I, M) = ∞ なら明らか。

depth(I, M) ＜ ∞ なら >>48 より
depth(I, M) = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r となる。
depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) ≧ 0 だから
depth(I, M) ≧ r である。
証明終

00519208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/16(木) 16:41:19

補題
A をネーター環とし、I をそのイデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
Hom(A/I,M) = 0 なら I は M-正則な元を含む。

証明
I の元がすべて M-非正則であると仮定する。
M ≠ 0 だから Ass(M) は空でない。
Ass(M) = {p_1, ..., p_r} とすると、
前スレ１の180より I ⊂ p_1∪...∪p_r となる。
よって、前スレ１の579より I ⊂ p_i となる i がある。
p_i ∈ Ass(M) だから M の元 x ≠ 0 で (p_i)x = 0 となるものがある。
よって Ix = 0 だから、Hom(A/I, M) ≠ 0 である。
これは仮定に反する。
証明終

00529208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/16(木) 16:44:25

命題
A を環とし、I をその極大イデアル、
M を有限生成 A-加群とする。
M ≠ IM とする。
n > 0 を整数とし、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(A/I, M) = 0
であれば、I の元からなる長さ(>>28) n の M-正則列が存在する。

証明
n に関する帰納法を使う。 M ≠ IM だから M ≠ 0 であり、
Ext^0(A/I, M) = Hom(A/I, M) だから、n = １のときは、
>>51 で証明されている。
よって n ≧ 2 と仮定する。
Hom(A/I, M) = 0 だから、>>51 より x ∈ I で M-正則なものがある。
x による乗法で定義される射: M → M を考える。
x は M-正則だから次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/xM → 0

これから次の完全列が得られる。

Ext^i(A/I, M) → Ext^i(A/I, M/xM) → Ext^(i+1)(A/I, M)

ここで、i は任意の整数 i ≧ 0 である。
仮定より、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(A/I, M) = 0 だから、
0 ≦ i ≦ n - 2 のとき Ext^i(A/I, M/xM) = 0 である。
N = M/xM とおけば IN = (IM + xM)/xM = IM/xM である。
よって N ≠ IN である。
帰納法の仮定を M/xM に適用すれば、I の元からなる長さ n - 1 の
(M/xM)-正則列 x_2, ..., x_n が存在する。
よって、x, x_2, ..., x_n は I の元からなる M-正則列であり、
長さは n である。
証明終

00539208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/16(木) 18:54:01

命題
A を環、M を A-加群とする。
B を平坦な A-代数(前スレ２の>>221)とする。
φ: A → B を A-代数 B の構造射とする。
A の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列であるとき、
B の元の列 φ(x_1), ..., φ(x_r) は B-加群 M(x)B に関して
の正則列である。

証明
M(x)B = M_B とおき、
各 i = 1, ..., r に対して M_i = M/(x_1M + ... x_iM) とおく。
さらに M_0 = M とする。
x_i は M_(i-1) に関して正則だから、

0 → M_(i-1) → M_(i-1) → M_(i-1)/x_iM_(i-1) → 0

は完全列である。ここで、M_(i-1) → M_(i-1) は x_i による乗法
で定義される射である。M_(i-1)/x_iM_(i-1) = M_i に注意する。
B は平坦だから

0 → M_(i-1)(x)B → M_(i-1)(x)B → M_i(x)B → 0

も完全列である。

B は平坦だから M_(i-1)(x)B = M_B/(x_1M_B + ... x_(i-1)M_B)
であり、M_(i-1)(x)B → M_(i-1)(x)B は φ(x_i) による乗法
で定義される射である。
よって、φ(x_i)はM(x)B に関して正則である。
よってφ(x_1), ..., φ(x_r)は B-加群 M(x)B に関して
の正則列である。
証明終

00549208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/17(金) 17:47:47

訂正

>>52
>命題
>A を環とし、I をその極大イデアル、

命題
A を環とし、I をそのイデアル、

00559208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/17(金) 18:10:48

訂正の訂正(^^;

>>52
>命題
>A を環とし、I をその極大イデアル、

>命題
>A をネーター環とし、I をそのイデアル、

0056中川秀泰

2006/03/18(土) 17:59:14

削除依頼ﾖﾛ

00579208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/21(火) 21:15:20

命題
A をネーター環とし、I をそのイデアル、
M を有限生成 A-加群で、M ≠ IM とする。
このとき depth(I, M) は有限である。
さらに depth(I, M) ≦ inf {dim(M_p); p ∈ Supp(M/IM)} である。

証明
M ≠ IM だから Supp(M/IM) は空でない。
p を Supp(M/IM) に属する任意の素イデアルとする。
前スレ２の>>953 より Supp(M/IM) = V(I) ∩ Supp(M) である。
φ: A → A_p を標準射とする。

x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列とする。
I ⊂ p だから φ(x_1), ..., φ(x_r) は pA_p に含まれる。
さらに p ∈ Supp(M) だから M_p ≠ 0 である。
>>53 より、φ(x_1), ..., φ(x_r) は M_p に関しての
正則列である。よって、>>34 より r ≦ dim(M_p) である。
よって、I に含まれ x_1, ..., x_r を含む M-正則列で極大
なものが存在する。その長さを s とする。
depth(I, M) ＞ s とすると >>52 より I に含まれる M-正則列で
長さ s + 1 のものが存在する。これは s の取り方に反する。
よって、depth(I, M) ≦ s である。
さらに s ≦ dim(M_p) だから depth(I, M) ≦ dim(M_p) である。
証明終

00589208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/21(火) 21:34:42

訂正。

>>57
>よって、I に含まれ x_1, ..., x_r を含む M-正則列で極大
>なものが存在する。その長さを s とする。

I に含まれる M-正則列の長さの最大を s とする。

00599208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 11:04:55

>>35 の証明は不十分だったので、以下、この証明を補足する。
そのために補題を述べる。

00609208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 11:23:10

補題
A を環とし、I をそのイデアル、
M を A-加群とする。
x を I の元で M-正則とする。
p ≧ 1 を整数とする。
Ext^(p-1)(A/I, M) と Ext^p(A/I, M/xM) は同型である。

証明
x による乗法で定義される射: M → M を考える。
x は M-正則だから次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/xM → 0

これから次の完全列が得られる。

Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^p(A/I, M/xM)
→ Ext^p(A/I, M) → Ext^p(A/I, M)

>>32 より、Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) は x による
乗法である。
一方、A/I は A-加群として、I の元で零化される。
よって、>>30 より x(Ext^(p-1)(A/I, M)) = 0 である。
同様に x(Ext^p(A/I, M)) = 0 である。
よって、次の完全列が得られる。

0 → Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^p(A/I, M/xM) → 0
証明終

00619208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 11:47:14

補題
A を環とし、I をそのイデアル、
M を A-加群とする。
x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列とする。
Hom(A/I, M/(x_1M + ... + x_rM)) = Ext^r(A/I, M) (同型)である。

証明
M_0 = M とおき、
1 ≦ i ≦ r のとき、M_i = M/(x_1M + ... + x_iM) とおく。

1 ≦ i ≦ r のとき、M_i = M_(i-1)/x_iM_(i-1) である。

>>60 より
Ext^r(A/I, M) = Ext^(r-1)(A/I, M_1) (同型)となる。

同様にして
Ext^(r-1)(A/I, M_1) = Ext^(r-2)(A/I, M_2)
= ... = Ext^1(A/I, M_(r-1)) = Hom(A/I, M_r)(同型)である。

よって Ext^r(A/I, M) = Hom(A/I, M_r) (同型)である。
証明終

00629208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 11:53:39

>>60 は次のように修正する。

補題
A を環とし、I をそのイデアル、
M を A-加群とする。
x を I の元で M-正則とする。
p ≧ 1 を整数とする。
Ext^p(A/I, M) と Ext^(p-1)(A/I, M/xM) は同型である。

証明
x による乗法で定義される射: M → M を考える。
x は M-正則だから次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/xM → 0

これから次の完全列が得られる。

Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M/xM)
→ Ext^p(A/I, M) → Ext^p(A/I, M)

>>32 より、Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) は x による
乗法である。
一方、A/I は A-加群として、I の元で零化される。
よって、>>30 より x(Ext^(p-1)(A/I, M)) = 0 である。
同様に x(Ext^p(A/I, M)) = 0 である。
よって、次の完全列が得られる。

0 → Ext^(p-1)(A/I, M/xM) → Ext^p(A/I, M) → 0
証明終

0063隅広秀康

2006/03/22(水) 13:57:55

君、いい加減に止め給え

00649208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 15:46:34

命題
A をネーター環とし、I をそのイデアル、
M を有限生成 A-加群で、M ≠ IM とする。
I に含まれる M-正則列で極大なものの長さは depth(I, M) に等しい。

証明
>>57 から depth(I, M) は有限である。
x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列で極大なものとする。
>>50 より r ≦ depth(I, M) である。

r ＜ depth(I, M) と仮定する。
depth(I, M) の定義から Ext^r(A/I, M) = 0 である。
>>61 より Hom(A/I, M/(x_1M + ... + x_rM)) = 0 である。
M ≠ IM だから M/(x_1M + ... + x_rM) ≠ 0 である。
よって >>51 より I は M/(x_1M + ... + x_rM) に関して
正則な元 y を含む。
x_1, ..., x_r, y は I に含まれる M-正則列だから
x_1, ..., x_r の極大性に反する。
よって r = depth(I, M) である。
証明終

00659208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 15:51:44

>>64 から >>34 が出るのは、中山の補題より M ≠ mM だから
明らかだろう。

00669208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 15:53:40

>>65
>>64 から >>34 が出るのは、中山の補題より M ≠ mM だから
>明らかだろう。

>>64 から >>35 が出るのは、中山の補題より M ≠ mM だから
明らかだろう。

00679208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 16:01:39

可換代数の最初の難関が正則列とか深さの概念じゃないのかな。
深さは幾何的に捕らえ難いというのがある。

0068１３２人目の素数さん

2006/03/22(水) 16:27:49

馬鹿は幾ら起っても馬鹿だな

00699208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 17:45:43

補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
a を m の元で M-正則とする。
p ∈ Ass(M) とすると、p + aA ⊂ q となる q ∈ Ass(M/aM) が存在する。

証明
a による乗法により次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/aM → 0

これから次の完全列が得られる。

0 → Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M/aM)

この完全列より、Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M/aM) の核は
a(Hom(A/p, M)) だから Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M/aM) の像は
Hom(A/p, M)/a(Hom(A/p, M)) と同型である。

一方、p ∈ Ass(M) だから Hom(A/p, M) ≠ 0 である(前スレ１の93)。
よって中山の補題(前スレ１の242)より a(Hom(A/p, M)) ≠ Hom(A/p, M)
である。よって Hom(A/p, M/aM) ≠ 0 である。
よって、px ∈ aM となる x ∈ M で aM に含まれないものがある。
よって前スレ１の90より p を含む q ∈ Ass(M/aM) がある。
前スレ１の99より Ass(M/aM) ⊂ Supp(M/aM) であるから、
q ∈ Supp(M/aM) である。
一方、前スレ２の953より Supp(M/aM) = V(Ann(M) + aA) である。
よって aA ⊂ q である。よって p + aA ⊂ q である。
証明終

00709208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/22(水) 17:47:43

>>69 の証明は Serre の Local Algebra から借りた。

0071１３２人目の素数さん

2006/03/22(水) 18:09:23

king たーん
TamaKing たーん
蟹たーん

0072GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2006/03/22(水) 18:49:51

talk:>>71 私を呼んだか？

0073１３２人目の素数さん

2006/03/22(水) 18:50:41

>>72 氏ね

0074GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2006/03/22(水) 19:14:54

talk:>73 お前に何が分かるというのか？

0075１３２人目の素数さん

2006/03/22(水) 19:19:49

>>73 迷惑です

0076BWofTamaKing一ヶ月禁おなＯ－生活[１日目] ◆gqRrL0OhYE

2006/03/22(水) 20:00:09

>>71私を呼びまくっても駆けつけられないことが多いぞ。

00779208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/23(木) 12:22:44

ホモロジー代数というのは不思議だね。
EisenbudもHomological algebra is uncannily effectiveと書いている。
uncannilyというのがいいね。薄気味悪いほど効果的とでも訳せばいいのか。

何故なのかよく分からないが非常に強力な道具なんだよね。
ホモロジー代数のこの強力さを良く知らない人は、ホモロジー代数を
過小評価するというか関心をあまり持たない。なんであんな形式ばった
面白くないものをやるんだろう、とかね。

00789208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/24(金) 11:41:11

命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
p ∈ Ass(M) なら depth(M) ≦ dim(A/p) である。

証明
depth(M) に関する帰納法を使う。
depth(M) = 0 なら明らか。
depth(M) ≧ 1 とする。
よって m の元 a で M-正則なものがある。
>>69より p + aA ⊂ q となる q ∈ Ass(M/aM) が存在する。
>>47より depth(M/aM) = depth(M) - 1 だから帰納法の仮定より
depth(M/aM) ≦ dim(A/q) である。
a は M-正則だから a は p に含まれない。
よって p ≠ q である。よって dim(A/q) ≦ dim(A/p) - 1 である。
よって、depth(M) - 1 = depth(M/aM) ≦ dim(A/p) - 1 となる。
よって depth(M) ≦ dim(A/p) である。
証明終

0079１３２人目の素数さん

2006/03/26(日) 15:24:06

00809208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/28(火) 10:02:08

A をネーター環とし、I をそのイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群で、M ≠ 0 とする。
中山の補題(前スレ１の242)より M ≠ IM である。
x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列とする。
このとき、x_1, ..., x_r を任意の順に並び替えたものも
M-正則列となることを証明しよう。
そのため、いくつかの準備をする。

00819208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/28(火) 10:03:57

まずKrullの共通イデアル定理(前スレ１の252)を加群の場合に拡張する。

定理
A をネーター環、M を有限生成 A-加群とし、
I を rad(A) に含まれるイデアルとする。
∩(I^n)M = 0 となる。ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。

証明
N = ∩(I^n)M とおく。
IN = N を示せば、中山の補題より N = 0 となる。
IN ⊂ N は明らかだから N ⊂ IN を示す。
IN の準素部分加群分解(前スレ１の182)を IN = N_1 ∩ ... ∩ N_r
とする。各 i に対して Ass(M/N_i) = {p_i} とする。
S = {1, ..., r} とおく。S を以下の２個の部分集合に分割する。
S_1 = {i ∈ S; I ⊂ p_i}
S_2 = S - S_1 とおく。

定義から i ∈ S_1 のとき、I ⊂ p_i である。
Ass(M/N_i) = {p_i} だから (p_i)^nM ⊂ N_i となる n > 0 がある。
I ⊂ p_i だから (I^n)M ⊂ (p_i)^nM ⊂ N_i である。
一方 N ⊂ (I^n)M だから結局 N ⊂ N_i となる。

今度は j ∈ S_2 とする。
I は p_j に含まれないから、I の元 a で p_j に含まれないもの
がある。このとき N が N_j に含まれないと仮定する。
IN ⊂ N_j だから aN ⊂ N_j である。よって a は M/N_j に関して
非正則である。N_j は準素だから a ∈ p_j である。
これは仮定に反する。よって N ⊂ N_j でなければならない。

以上から、任意の i ∈ S に対して N ⊂ N_i となる。
よって、N ⊂ IN となる。
証明終

00829208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/28(火) 11:01:43

次の命題は周知だが復習もかねて証明する。

命題
n > 0 を整数とし、集合 {1, ..., n} の置換全体のなす
対称群を S_n とする。
S_n の任意の元 σ はいくつかの互換の積として表すことが出来る。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 なら明らか(零個の互換の積は恒等置換とみなす)。
n ≧ 2 とする。
σ(n) = n なら σ は S_(n-1) の元とみなせる。
よって帰納法の仮定より、σ は互換の積となる。
よって σ(n) ≠ n とする。σ(n) = j とおく。
τ = (j, n)σ とおく。
τ(n) = (j, n)(σ(n)) = n である。
よって τは S_(n-1) の元とみなせる。
よって帰納法の仮定より、τ は互換の積となる。
よってσ = (j, n)τも互換の積となる。
証明終

00839208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/28(火) 11:36:25

命題
n > 0 を整数とし、集合 {1, ..., n} の置換全体のなす
対称群を S_n とする。
S_n の任意の元 σ は (i, i+1), 1 ≦ i ≦ n-1 の形の互換の積として
表すことが出来る。

証明
>>82 より任意の互換 (j, k), j < k が(i, i+1) の形の互換の積と
となることを示せばよい。互換(j, k)の長さを k - j で定義する。
互換の長さの帰納法で証明する。
互換の長さが１のときは明らか。
よって互換(j, k)の長さは２以上とする。
(j, k) = (j, k-1)(k-1, k)(j, k-1) となることが簡単に確かめられる。
帰納法の仮定より(j, k-1)は(i, i+1) の形の互換の積となる。
よって(j, k)も同様である。
証明終

00849208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/28(火) 12:23:44

補題
A をネーター環とし、I をそのイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群で、M ≠ 0 とする。
a, b を I に含まれる M-正則列とすると、
並びを入れ替えた b, a もM-正則列である。

証明
まず、b が M-正則であることを証明する。
x を M の元として、bx = 0 とする。
x = 0 を示せばよい。
b は M/aM に関して正則だから、x ∈ aM となる。
よって x = ay となる y ∈ M がある。
bx = aby = 0 であり、a は M-正則だから by = 0 である。
よって上と同様に y ∈ aM となる。つまり、x ∈ (a^2)M となる。
以上を繰り返して x ∈ ∩(a^n)M となる。
ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。
>>81 より ∩(a^n)M = 0 だから x = 0 である。

次に、a が M/bM に関して正則なことを示す。
x を M の元として、ax ∈ bM とする。
ax = by となる y ∈ M がある。
b は M/aM に関して正則だから y ∈ aM となる。
よって y = az となる z ∈ M がある。
よって ax = abz である。a は M-正則だから x = bz である。
よって x ∈ bM となって a は M/bM に関して正則である。
証明終

00859208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/28(火) 14:17:16

命題
A をネーター環とし、I をそのイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群で、M ≠ 0 とする。
x_1, ..., x_n を I に含まれる M-正則列とする。
このとき x_1, ..., x_n を任意に並び替えた列も M-正則列である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 なら明らか。
n ≧ 2 とする。
>>83 より 1 ≦ i ≦ n - 1 となる任意の整数 i に対して、
x_1,..., x_(i+1), x_i,..., x_n が M-正則列であることを示せばよい。

i + 1 ≦ n - 1 のときは、帰納法の仮定により、
x_1,..., x_(i+1), x_i,..., x_(n-1) は M-正則列である。
よって、この列に x_n を追加した
x_1,..., x_(i+1), x_i,..., x_(n-1), x_n も M-正則列である。

よって残るのは i + 1 = n の場合だけである。
つまり、x_1,..., x_(n-2), x_n, x_(n-1) が M-正則列であることを
示せばよい。
これは、N = M/(x_1M + ... + x_(n-2)M) とおいたとき、
x_n, x_(n-1) が N-正則列であることと同値である。
しかし、これは >>84 で証明されている。
証明終

00869208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/29(水) 09:23:04

>>85 はKoszul複体を使って証明するのが普通。
というかそれ以外の証明を他で見たことがない。
まあ、わりと自然で簡単な証明だから他の誰かがきっとやってるとは思うが。

0087１３２人目の素数さん

2006/03/29(水) 10:33:47

命題
A をネーター環とし、I をそのイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群で、M ≠ 0 とする。
x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列とする。
n_1, ..., n_r を整数の列で各 n_i > 0 とする。
このとき、(x_1)^(n_1), ..., (x_r)^(n_r) も M-正則列である。

証明
各 i に対して i ≠ j なら n_j = 1 のときの場合、つまり

x_1, ..., (x_i)^(n_i), ..., x_n

がM-正則列であることを示せば、一般の場合はこれから直ぐでる。
よって、この場合を証明する。

>>85 より、x_i を最後に移動した列

x_1, ..., x_r, x_i

も M-正則列である。
一般にM-正則な元の任意のベキ乗もM-正則だから、

x_1, ..., x_r, (x_i)^(n_i)

も M-正則列である。
よって、再び >>85 より (x_i)^(n_i) をもとの位置に戻した列

x_1, ..., (x_i)^(n_i), ..., x_n

も M-正則列である。
証明終

00889208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/29(水) 10:37:45

>>87 に私のＩＤを付けるのを忘れた。
後の検索のために注意しておく。

00899208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/29(水) 10:45:36

訂正
>>87
>x_1, ..., (x_i)^(n_i), ..., x_n

x_1, ..., (x_i)^(n_i), ..., x_r

00909208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/30(木) 10:45:13

>>86

Zariski-Samuelの本の付録にKoszul複体を使わない証明が載っていた。
しかし、その証明は >>85 とは異なる。

00919208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/30(木) 18:17:26

正則列を弱めた概念である準正則列(quasi-regular sequence)に
ついて述べる準備として、フィルター付環とフィルター付加群について
述べる。フィルター付環は、局所環の完備化や重複度とも関係するので
可換代数において重要である。

定義
A を環とし、A の加法群の部分群からなる A_p, p ∈ Z の降列
... A_p ⊃ A_(p+1) ... で以下の条件 (1), (2) を満たすとする。

(1) (A_p)(A_q) ⊂ A_(p+q) が任意の p, q ∈ Z に対してなりたつ。

(2) 1 ∈ A_0

ここで、Z は有理整数全体の集合であり、
(A_p)(A_q) は集合 {xy; x ∈ A_p, y ∈ A_q} で生成される A の部分群
を表す。

このとき、A をフィルター付環という。
列 (A_p) を A のフィルターと呼ぶ。

00929208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/31(金) 10:42:53

>>91 の前に次の定義をすべきだった。

定義
M をアーベル群とする。
M の部分群からなる降列
... M_p ⊃ M_(p+1) ...
を M のフィルターと呼ぶ。
ここで、p は有理整数全体を動く。

M をフィルター付アーベル群と呼ぶ。

00939208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/31(金) 11:01:36

因みに>>92のフィルターの名前の由来を(私の想像だが)説明してみよう。
フィルターとは濾過器のこと。

>>92 の記号を使う。
M の元 x をとる。
x ∈ M_p となる p が存在しないとする。
このとき、x は、フィルターではじかれたと考える。

次に、x ∈ M_p となる p があるとする。
このとき x は M_p による関門を通ったと考える。
しかし x は M_(p+1) には含まれないとする。
このときも、x はフィルターではじかれたと考える。
こうやって、M の元を篩い落としていき、
最後に残ったもの、即ち ∩M_p の元がフィルターで漉されたものと
考える。

00949208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/31(金) 15:26:54

定義
M をフィルター付アーベル群(>>92)とし、(M_p)をそのフィルターとする。

M = ∪M_p のとき、このフィルターは上に収束するという。

0 = ∩M_p のとき、このフィルターは下に収束するという。
下に収束するフィルターを分離的なフィルターとも言う。

M_p = 0 となる p があるとき、このフィルターは下に有界または
離散的という。

M_p = M となる p があるとき、このフィルターは上に有界という。

上に有界かつ下に有界なフィルターは有界または有限なフィルターという。

00959208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/31(金) 16:25:18

定義
A をフィルター付環(>>91)とし、(A_p)をそのフィルターとする。
M を A-加群とする。
M をアーベル群とみて、その部分アーベル群からなるフィルター(M_p)が
以下の条件を満たすとする。

(A_p)(M_q) ⊂ M_(p+q) が任意の p, q ∈ Z に対してなりたつ。

このとき、フィルター(M_p)は、フィルター付環 A と両立するといい、
M をフィルター付 A-加群と呼ぶ。

00969208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/31(金) 16:50:55

A をフィルター付環(>>91)とし、(A_p)をそのフィルターとする。
M をフィルター付 A-加群(>>95)とし、(M_p)をそのフィルターとする。

フィルター付環の応用上では、A = A_0 となる場合が圧倒的に多い。
この場合、各 A_p は A のイデアルであり、
各 M_p は A-部分加群である。

00979208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/31(金) 16:55:57

フィルター付環および加群の例(その１)

A を環、I をそのイデアルとする。
M をA-加群とする。
p ≧ 0 のとき A_p = I^p とし、
p ＜ 0 のとき A_p = A とおけば、
A は (A_p) によりフィルター付環になる。

フィルター(A_p)を A の I-進フィルターと呼ぶ。

p ≧ 0 のとき M_p = (I^p)M とし、
p ＜ 0 のとき M_p = M とおけば、
M は (M_p) によりフィルター付 A-加群になる。
フィルター(M_p)を M の I-進フィルターと呼ぶ。

00989208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/31(金) 17:08:49

フィルター付環および加群の例(その２)

A をZ-型の(可換な)次数環(前スレ１の720)とし、
その n-次部分を A_(n) とする。
A_p = Σ(n≧p) A_(n) とおく。
A は (A_p) によりフィルター付環になる。

M をZ型の A-次数加群(前スレ１の722)とし、
その n-次部分を M_(n) とする。
M_p = Σ(n≧p) M_(n) とおく。
M は (M_p) によりフィルター付 A-加群になる。

00999208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/31(金) 17:24:35

フィルター付環および加群の例(その３)

A を環とする。
p ≦ 0 のとき A_p = A とおき、
p ＞ 0 のとき A_p = 0 とおく。
A は (A_p) によりフィルター付環になる。
A を自明なフィルター付環と呼ぶ。

M をA-加群とする。
p ≦ 0 のとき M_p = M とおき、
p ＞ 0 のとき M_p = 0 とおく。
M は (M_p) によりフィルター付 A-加群になる。
M を自明なフィルター付 A-加群と呼ぶ。

0100１３２人目の素数さん

2006/03/31(金) 17:27:21

帰納法使う奴は人間のくず

01019208 ◆X2Eb5pqWTw

2006/03/31(金) 17:56:35

フィルター付環および加群の例(その４)

A をフィルター付環(>>91)とし、(A_p)をそのフィルターとする。
M をA-加群とする。
M_p = (A_p)M とおけば、
M は (M_p) によりフィルター付 A-加群になる。
(M_p) を (A_p)から誘導されたフィルターという。

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代数的整数論 ＃003

代数的整数論　＃003