まずノルムが素数の円分整数を具体的にみつけよう。
最も簡単でしかも有理整数でない円分整数は ζ の一次式 a + bζ だから、
このノルムを計算する。

N(a + bζ) = (a + bζ)(a + bζ^2)...(a + bζ^(λ-1))
である。

b = -1 の場合を考えれば、次の恒等式を思い出すだろう。

X^λ - 1 = (X - 1)(X - ζ)(X - ζ^2)...(X - ζ^(λ-1))

ここで、X を X/Y で置き換える。

(X/Y)^λ - 1 = (X/Y - 1)(X/Y - ζ)(X/Y - ζ^2)...(X/Y - ζ^(λ-1))

この両辺に Y^λ を掛けると、

X^λ - Y^λ = (X - Y)(X - Yζ)(X - Yζ^2)...(X - Yζ^(λ-1))

Y を -Y で置き換えると、λは奇数だから、

X^λ + Y^λ = (X + Y)(X + Yζ)(X + Yζ^2)...(X + Yζ^(λ-1))

これから、a ≠ -b のとき、

N(a + bζ) = (a + bζ)(a + bζ^2)...(a + bζ^(λ-1))
= (a^λ + b^λ)/(a + b) となる。