ここで本題に戻って、円分整数環 Z[ζ] (>>147)における
整除の判定方法について述べる。

Z[ζ] の 非零元 f(ζ) と g(ζ) が与えられたとき、
g(ζ) = f(ζ)h(ζ) となる h(ζ) が存在するとき、
g(ζ) は f(ζ) で割れるといい、この事実を記号 f(ζ)|g(ζ) で表す。

f(ζ) が 有理整数 a のときは、この判定は簡単である。

g(ζ) = b_0 + b_1ζ + ... + b_(λ-1)ζ^(λ-1) とし、
h(ζ) = c_0 + c_1ζ + ... + c_(λ-1)ζ^(λ-1) とする。

g(ζ) = ah(ζ) より、
b_0 - ac_0 = b_1 - ac_1 = ... = b_(λ-1) - ac_(λ-1)
となる。

よって、この等式の等しい値を k とおけば、

b_0 = ac_0 + k
b_1 = ac_1 + k
.
.
.
b_(λ-1) = ac_(λ-1) + k

となる。

つまり、b_0 ≡ b_1 ≡ ... ≡ b_(λ-1) (mod a) となる。
逆に、この関係が成立すれば、g(ζ) = ah(ζ) となる h(ζ) が求まる。