円分整数環 Z[ζ] (>>147)の元は >>163 により

(形式１) a_0 + a_1ζ + ... + a_(λ-2)ζ^(λ-2)

の形に一意に表される。
ここで、各a_i は有理整数である。

関係式 1 + ζ + ... + ζ^(λ-1) = 0 より、
ζ^(λ-1) = -1 -ζ- ... -ζ^(λ-2) となることを使って、
Z[ζ] の２元の積は、(形式１)の形に求まる。

しかし、この計算はやや面倒なので、
Z[ζ] の元を

(形式2) a0 + a_1ζ + ... + a_(λ-1)ζ^(λ-1)

の形に表すほうが便利である。
この形の２元の積は、関係式 ζ^λ = 1 を使って
(形式２)の形に求める。

Z[ζ] の元を (形式2) に表示するのは一意ではないが、

a0 + a_1ζ + ... + a_(λ-1)ζ^(λ-1) =
b0 + b_1ζ + ... + b_(λ-1)ζ^(λ-1)

なら、a_0 - b_0 = a_1 - b_1 = ... = a_(λ-1) - b_(λ-1)
という関係が成立ち、逆も言える。

(形式2)の元を f(ζ), g(ζ) ... などと書く。