命題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。

Supp(M) の元 p で dim(M) = dim(A/p) となるものは、
Supp(M) の極小元であるから有限個である。
これ等を p_1, ..., p_r とする。

m の元 x が M-切断列となるためには
x がどの p_i にも含まれないことが必要十分である。

証明
I = Ann(M) とおく。

m の元 x がどの p_i にも含まれないとする。
仮定より、dim(A/(I + xA)) < dim(A/I) となる。
前スレ２の966より dim(M/xM) = dim(A/(I + xA)) である。
よって、dim(M/xM) < dim(M) となる。
一方、前スレ２の973 より dim(M/xM) ≧ dim(M) - 1 である。
よって、dim(M/xM) = dim(M) - 1 となる。
よって、x はM-切断列である。

逆に、m の元 x が dim(M/xM) = dim(M) - 1 を満たすとする。
dim(A/(I + xA)) < dim(A/I) となる。
これは、x がどの p_i にも含まれないことを意味する。
証明終