>>163 の別証

命題(>>163と同じ)
λを奇素数としたとき、有理数体上の多項式 1 + X + ... X^(λ-1) は
既約である。

証明
h(X) = 1 + X + ... X^(λ-1) とおく。
h(X + 1) が既約であることを示せばよい。

h(X) = (X^λ - 1)/(X - 1) だから
h(X + 1) = ((X + 1)^λ - 1)/X
= X^(λ-1) + ... + [λ,k]X^(λ- k -1) + ... + [λ,λ-1]
である。
ここで [p,k] は p個のものから順序を無視して
k 個取り出す組み合わせの数である。
>>155 より [λ,k] はλ で割れる。
[λ,λ-1] = λ である。

よって、Eisenstein の既約性定理(>>167)より h(X + 1) は既約である。
証明終