次の命題は周知だが、証明しておく。

補題
p を素数とすると
1 ≦ k ≦ p - 1 のとき [p,k] ≡ 0 (mod p) である。
ここで [p,k] は p個のものから順序を無視して
k 個取り出す組み合わせの数である。
つまり、[p,k] = p(p - 1)...(p - k + 1)/k! である。

証明
[p,k]k! = p(p - 1)...(p - k + 1) だから
[p,k]k! ≡ 0 (mod p) である。
1 ≦ k ≦ p - 1 のとき k! は p で割れない。
[p,k] ≡ 0 (mod p) である。
証明終