命題
任意の整数 n ＞ 0 に対して、円分多項式Φ_n(X) は有理数体上既約である。

証明
ζを X^n = 1 の原始根(>>153)の１つとする。
ζの有理数体上のモニックな最小多項式を f(X) とする。
m ＞ 1 を n と素な整数とする。
m = (p_1)...(p_r) を m の素因数分解とする。
ここで、p_1, ..., p_r は素数で重複も許している。
>>161 より、ζ^(p_1) も f(X) の根である。
よって再び、>>161 より (ζ^(p_1))^(p_2) もf(X) の根である。
これを繰り返して、ζ^m も f(X) の根である。
よって、f(X) は X^n = 1 の原始根のすべてを根に持つ。
f(X) は Φ_n(X) を割るから Φ_n(X) = f(X) である。
証明終