補題
n ＞ 0 を整数、ζを X^n = 1 の根(原始根とは限らない)の１つとする。
ζの有理数体上のモニックな最小多項式を f(X) とする。
p を n を割らない素数とする。
このとき f(ζ^p) = 0 となる。

証明
ζは X^n - 1 = 0 の根だから、
X^n - 1 = f(X)g(X) となる有理数係数のモニックな多項式 g(X)がある。
>>160 より f(X) の係数は有理整数である。
よって、g(X) の係数も有理整数である。
f(ζ^p) ≠ 0 として矛盾を導こう。
ζ^p も X^n - 1 = 0 の根だから、f(ζ^p)g(ζ^p) = 0 である。
f(ζ^p) ≠ 0 と仮定したから g(ζ^p) = 0 となる。
よって、ζは g(X^p) の根であるから g(X^p) は f(X) で割り切れる。
よって g(X^p) = f(X)h(X) となるモニックな多項式 h(X) がある。
h(X) の係数も有理整数である。

ここで、等式 g(X^p) = f(X)h(X) を mod p で考える。
g(X)^p ≡ g(X^p) (mod p) だから、
g(X)^p ≡ f(X)h(X) (mod p) となる。
f(X) の mod p でのの既約因子の１つをω(X) とする。
g(X)^p は mod p でω(X) で割り切れるから、
g(X) は mod p でω(X) で割り切れる。
一方、X^n - 1 = f(X)g(X) だから、
X^n - 1 は mod p で ω(X)^2 で割り切れる。
ところが、これは有り得ない。
何故なら、n は p と素で X^n - 1 は mod p で
分離的な多項式である。つまり、有限体 Z/pZ の代数的閉包において
重根をもたない。
以上から、f(ζ^p) = 0 でなければならない。
証明終