命題
一意分解整域は整閉整域(前スレ１の578)である。

証明
A を一意分解整域とし、K をその商体とする。
x = a/b を K の元で A 上整なものとする。
ここで a, b は A の元で互いに素とする。

(a/b)^n + c_1(a/b)^(n-1) + ... + c_n = 0 とする。
ここで、各 c_i は A の元である。

この等式の両辺に b^n を掛けて次式を得る。

a^n + c_1a^(n-1)b + ... c_nb^n = 0

b が A の可逆元でないとすると、b を割る A の素元 p がある。
上の等式から p は a^n したがって a を割ることになる。
これは a と b が互いに素とした仮定に反する。
よって b は可逆元であり、x は A の元である。
よって、A は K において整閉である。
証明終