λを奇素数としてζを X^λ = 1 の１以外の根の１つとする。
ここで、方程式 X^λ = 1 は複素数体で考える。
よって ζ は複素数である。
ζを X^λ = 1 の原始根と呼ぶ。

有理整数環 Z と ζ により生成される複素数体の部分環を
円分整数環と呼び Z[ζ] と書く。
Z[ζ] の元を円分整数と言う。

X^λ = 1 の相異なるλ個の根は ζ^i, i = 0, 1, ..., λ-1 と書ける。
1 ≦ i ≦ λ-1 のとき i はλと素だから ij ≡ 1 (mod λ)
となる整数 j が存在する。よって、ζ^(ij) = ζ となる。
つまり、ζ = (ζ^i)^j である。
よって Z[ζ] ⊂ Z[ζ^i] となる。
逆の包含関係は明らかだから、Z[ζ] = Z[ζ^i] となる。
よって、環 Z[ζ] は原始根ζの取り方によらない。

これから Kummer に習って円分整数環 Z[ζ] において素元分解の一意性が
成立つかどうかという問題を調べることにする。

その前に Z[ζ] の基本的な性質を調べておく。