定義
A を可換環、 M を A-加群とする。
T(M) を A 上の M から生成されるテンソル代数(前スレ１の718)とする。
T(M) は明らかに次数 A-代数(前スレ１の720)である。
T(M)の部分集合 {xy - yx; x, y ∈ M} から生成される両側イデアルを
I とする。

T(M)/I を A 上の M から生成される対称代数と呼び、
S(M) と書く。

I は同次元で生成されるから同次イデアルである(前スレ１の726)。
よって、S^p(M) = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) とおけば、
S(M) = ΣS^p(M) (直和) となる。よって S(M) も次数 A-代数である。
S^0(M) = A であり、S^1(M) = M となる。
S(M) の２元 x, y の積を xy と書く。
明らかに、xy = yx であるから S(M) は可換である。