命題(>>131)の系２
命題(>>131)はフィルター (M_p) が完備(>>134)なら成り立つ。

証明
>>132 より、各 p に対して f は同型
M/M_p → L/L_p を誘導することがわかる。
よって f は同型 proj.lim M/M_p → proj.lim L/L_p を誘導する。

次の可換図式を考える。

　　　M　　　　→　　　 L
　　　↓　　　　　　　　↓
proj.lim M/M_p → proj.lim L/L_p を誘導する。

フィルター (M_p) は完備だから標準射 M → proj.lim M/M_p は
同型である。
一方、フィルター (L_p) は仮定より分離的だから
>>133 より L → proj.lim L/L_p は単射である。
よって、上の可換図式より f: M → L が同型となることが分かる。
証明終