命題
A をフィルター付環(>>91)とし、
M, L をフィルター付 A-加群(>>95)とする。
(M_p), (L_p) をそれぞれ M, L のフィルターとする。
(L_p) は上下に収束(>>94)するとする。
f: M → L をフィルター付 A-加群としての射とする。
gr(A)-次数加群の射 gr(f)(>>127) : gr(M) → gr(L) は同型であるとする。
このとき、フィルター(M_p) が有限(>>94)なら、
f は同型となる。

証明
gr(M) と gr(L) は同型だから、>>129 より フィルター(L_p) も
有限である。
フィルター (M_p) は有限だから 整数 k と n ≧ 0 があり、
M = M_k ⊃ M_(k+1) ⊃ ... M_(k+n) = 0 となる。
gr(M) と gr(L) は同型だから
L = L_k ⊃ L_(k+1) ⊃ ... L_(k+n) = 0 となる。

M_0 = M, M_2 = 0 の場合を証明すれば、n に関する帰納法を使って、
一般の場合も証明できる。よって、この場合のみ証明する。

完全列:
0 → M_1 → M → M/M_1 → 0
と
0 → L_1 → L → L/L_1 → 0
を考える。

仮定により、f: M → L は、同型 M_1 → L_1 と
同型 M/M_1 → L/L_1 を誘導する。
snake lemmaを使って(使わなくても簡単にわかるが)
f も同型になる。
証明終