補題
A をフィルター付環(>>91)とし、
M をフィルター付 A-加群(>>95)とする。
M のフィルター (M_p) は上下に収束(>>94)するとする。
gr_p(M) ≠ 0 となる p が有限ならフィルター (M_p) は有限(>>94)である。

証明
十分大きな整数 n があり p ≧ n なら gr_p(M) = 0 である。
よって M_n = M_(n+1) = ... となる。
(M_p) は下に収束するから、0 = ∩M_p である。
よって M_n = 0 である。

同様に、十分小さな整数 m があり p ≦ m なら gr_p(M) = 0 である。
よって M_m = M_(m-1) = ... となる。
(M_p) は上に収束するから、M = ∪M_p である。
よって M_m = M である。
証明終