定義
A をフィルター付環(>>91)とする。
gr(A) を A の加法群の次数化アーベル群とする。
α ∈ gr_p(A)、β ∈ gr_q(A) のとき、
αとβの積 αβ ∈ gr_(p+q)(A) を以下のように定義する。

x ∈ A_p, y ∈ A_q をそれぞれ αとβ の代表元とする。
xy ∈ A_(p+q) の mod A_(p+q+1) の剰余類をαβとする。
この定義が 代表元 x, y の取り方によらないことは明らかである。
この積により、gr(A) は Z 型の次数環(前スレ１の720)となる。
gr(A) を A の次数化環と呼ぶ。