命題
A をフィルター付環とし、
f: M → N をフィルター付 A-加群の射とする。
フィルター付 A-加群の射 u: Coim(f) → Im(f) が一意に存在し、
f は M → Coim(f) → Im(f) → N と分解する。
ここで、M → Coim(f) と Im(f) → N はともに標準射である。

証明
A-加群の射としては u: Coim(f) → Im(f) を
u([x]) = f(x) で定義する。ここで、x は M の元であり、[x] は
x の属す Coim(f) = M/Ker(f) の剰余類である。
この定義は剰余類の代表元 x の取り方によらない。

M、N のフィルターをそれぞれ (M_p), (N_p) とする。
f(M_p) ⊂ Im(f) ∩ N_p であるから
u がフィルター付 A-加群の射であることは明らか。

次に u の一意性を示す。
α: M → Coim(f)
β: Im(f) → N
を標準射とする。

f = βvα となるフィルター付 A-加群の射 v: Coim(f) → Im(f) が
存在するとする。
f = βuα = βvα であり、βは単射だから、
uα = vα となる。
αは全射だから、 u = v である。
証明終