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0001１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 02:21:32
732 名前：2/13派[] 投稿日：2006/02/18(土) 00:33:40
　AとBの二つの封筒がある。
　それぞれ小切手が入っており、その金額の比率は１：２であるが
　どちらが１でどちらが２かはわからない。
　
　Aの封筒を手に取ると10000円の小切手が入っていた。
　
　１．Aの封筒の金額の方が大きい確率はいくらか？
　　　また、その時Bの封筒の小切手に書かれている金額は？
　
　２．Aの封筒の金額の方が小さい確率はいくらか？
　　　また、その時Bの封筒の小切手に書かれている金額は？
　
　３．Bの封筒の小切手に書かれている金額の期待値はいくらか？
　　　また、Bの封筒と交換して良いとした場合、交換したほうが得か？
　
　解答
　１．どちらの小切手の金額が大きいかわからないので、
　　　Aの小切手の方が大きい確率は1/2であり、Bの小切手の金額は5000円。
　
　２．同様にAの小切手の方が小さい確率は1/2であり、Bの小切手の金額は20000円。
　
　３．１、２より、Bの小切手の期待値は5000 * 1/2 + 20000 * 1/2 = 12500円
　　　よって、交換した方が得である。
　
0002１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 02:22:32
755 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/02/18(土) 06:50:58
　>>754
　金額が分からなかったらそもそも金額の期待値は計算できない。
　
　Aの金額をX、Bの金額をYとすると、X/YとかY/Xの期待値は1.25で間違いない。ただ、この事実はYの期待値がXの期待値の1.25倍になる、とかそういうことを意味しない。
　
　Y=(Y/X)*X
　が成り立つのは当たり前なんだけど、
　E[Y]=E[Y/X]*E[X]
　は必ずしも成り立たない。
　
　つまり、E[Y/X]の値はE[X]とE[Y]の比較のための判断材料にはならない。
　
0003１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 02:23:51
899 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/02/19(日) 18:02:09
　VIPからきました。
　>>732
　「おかしいな」と思った瞬間に罠に嵌っていますよ。
　「おかしい」と思わなかった人はセーフです。
　
　>>732の論法に少しもおかしな箇所はないにも関わらず、
　「おかしいぞ」と思わせてしまう心理トリックなんですよ。
　作った人は相当の釣り師ですね。
　
　小切手2枚のうち、安い方がz円である確率をf(z)、
　最初の小切手と2番目の小切手の額面をそれぞれX、Yとおくと、
　X、Yの期待値は
　E[X] = ( f(z)*(1/2) + f(z/2)*(1/2) ) * z = E[Y]
　だから常に等しい。
　次に比率Y/Xの期待値を考えると、X=2Yである確率と
　Y=2Xである確率は同等だから
　E[Y/X] = 納 f(z) * {(1/2)*(1/2) + 2*(1/2)}]
　= （5/4) 杷(z) =5/4
　で一定となる。
　
　ここでY= (Y/X) * Xの類推で、
　　E[Y] = E[Y/X] * E[X] = (5/4) * E[X] > E[X]、あれっ、おかしいぞ
　と思ってしまったら、罠に嵌ったことになりま〜す。
　一般にE[Y] = E[Y/X] * E[X]は成り立たないですよ〜
　
　>>732を読んで、当たり前に思えるようになるまでお勉強してね。
　
0004１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 02:24:54
901 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/02/19(日) 18:43:15
　>>899
　乙です。
　補足説明しましょう(というか、それって私が別スレに書いた内容なんですけどね)。
　
　一枚目が10000円であるときの2枚目の期待値は
　E[Y|X=10000] =
　{5000 * f(5000)*(1/2)} /{f(5000)*(1/2) + f(10000)*(1/2)}
　+ {20000 * f(10000)*(1/2)} /{f(5000)*(1/2) + f(10000)*(1/2)}
　= {5000*f(5000) + 20000*f(10000)} /{f(5000) + f(10000)}
　であり、これはf(5000)=f(10000)の場合12500になりますが、
　一般には密度関数f(z)に依存します。ここに気づくと、
　
　　E[Y] = E[Y/X] * E[X] = (5/4) * E[X] > E[X]、あれっ、おかしいぞ
　　→ そうだ、密度関数f(z)にトリックがあるはずだ
　
　と更にミスリードされることになります。
　
　いずれにせよ、「おかしい」と思った時点で術中に嵌っているわけです。
　
0005１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 02:26:58
ちょっとこのスレは書き込みが集中しすぎ。鯖の負担を考えてくれ
ここは過疎板だから、鯖の弱さは折り紙付き。一回一回の投稿を十分に推敲してくれ。

最強鯖のVIPと同じ感覚で書き込むのは迷惑この上ない。
0006１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 02:28:45
スレタイ変えたほうが良くないか？
0007１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 02:35:10
なんだこのスレ
0008１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 02:38:09
おいおいこの前新しくpart3立ってたの見たばっかりだぞw
0009１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 02:42:00
スレタイと本文の内容が禿げ上がってるが認める
0010１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 06:42:44
(*)E[Y] = E[Y/X] * E[X]
は確かに一般には成り立たないけど
E[cY] = c * E[Y] : cはある定数
は成り立つよね

上でどうのこうの言ってる人はAの封筒を空ける前の話をしてるのかな？
空けた後ならE[X] = 10000円 = (定数)なので
E[X] = 10000(円)となって(*)は成り立つよ？
0011１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 08:18:08
>>10

1 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2006/02/21(火) 02:21:32
　732 名前：2/13派[] 投稿日：2006/02/18(土) 00:33:40
　　AとBの二つの封筒がある。
　　それぞれ小切手が入っており、その金額の比率は１：２であるが
　　どちらが１でどちらが２かはわからない。
　　
　　Aの封筒を手に取ると10000円の小切手が入っていた。
　　
　　１．Aの封筒の金額の方が大きい確率はいくらか？
　　　　また、その時Bの封筒の小切手に書かれている金額は？
　　
　　２．Aの封筒の金額の方が小さい確率はいくらか？
　　　　また、その時Bの封筒の小切手に書かれている金額は？
　　
　　３．Bの封筒の小切手に書かれている金額の期待値はいくらか？
　　　　また、Bの封筒と交換して良いとした場合、交換したほうが得か？
　　
　　解答
　　１．どちらの小切手の金額が大きいかわからないので、
　　　　Aの小切手の方が大きい確率は1/2であり、Bの小切手の金額は5000円。
　　
　　２．同様にAの小切手の方が小さい確率は1/2であり、Bの小切手の金額は20000円。
　　
　　３．１、２より、Bの小切手の期待値は5000 * 1/2 + 20000 * 1/2 = 12500円
　　　　よって、交換した方が得である。
　　
　
　
0012１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 08:21:50
上でどうのこうの言ってる人はAの封筒を空ける前の話をしてるのかな？
空けた後ならE[X] = 10000円 = (定数)なので
E[X] = 10000(円)となって(*)は成り立つよ？

空けた後ならE[X] = 10000円 = (定数)なので
E[X] = 10000(円)となって(*)は成り立つよ？

空けた後ならE[X] = 10000円 = (定数)なので
E[X] = 10000(円)となって(*)は成り立つよ？

空けた後ならE[X] = 10000円 = (定数)なので
E[X] = 10000(円)となって(*)は成り立つよ？

空けた後ならE[X] = 10000円 = (定数)なので
E[X] = 10000(円)となって(*)は成り立つよ？

空けた後ならE[X] = 10000円 = (定数)なので
E[X] = 10000(円)となって(*)は成り立つよ？

空けた後ならE[X] = 10000円 = (定数)なので
E[X] = 10000(円)となって(*)は成り立つよ？

空けた後ならE[X] = 10000円 = (定数)なので
E[X] = 10000(円)となって(*)は成り立つよ？
0013１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 08:58:02
>>2を前スレで書いたものだけど、これはあくまで

固定された２つからランダムに選んだんだ場合は「Y/Xが2である確率も1/2である確率も1/2」よりE[Y/X]=E[X/Y]=1.25である（これは正しい）ということから、期待値は常に1.25倍になるから変えた方がいいと考えてるならこれは誤りだよ、ということを説明しただけです。
多分こう考えて変だなぁと思ってる人も多いと思ったんで。

>>1には、「Aの小切手の方が大きい確率は1/2であり」ってあっさり書いてる。
(1)初めの２つの数が何であっても、選んだのが大きい方である確率も小さい方である確率も1/2
→
(2)したがって次の封筒が5000円である確率も20000円である確率も1/2
という論理構成にも読めちゃう。（もちろん間違い）

(1)からはE[Y/X]=E[X/Y]=1.25であることは言えるが、これをもって期待値が上がると思ったら間違い。
また、(1)から(2)が言えると思ってるならそれも間違い。

前者の方の間違いをまず指摘しただけ。

>>10
もちろんXの条件付期待値で見れば、
E[Y|X]=E[(Y/X)*X|X]=E[(Y/X)|X]*X　…（＊）
は成り立つ。

ちなみに、両辺とも確率変数。
これは元の金額を例えば(a,2a)に固定して考えれば、E[Y|X]が確率1/2でaか2aを取る確率変数であり、E[(Y/X)|X]が確率1/2で1/2か2を取る確率変数であることを記述している。
（E[Y|X],E[(Y/X)|X],X）の3つの確率変数の結合分布が、(a,1/2,2a)、(2a,2,a)をそれぞれ確率1/2で取る、ということを記述しているだけ。

さらに元の金額(a,2a)の組自体に確率を入れて、（＊）をその確率空間での式と考えればまた違う意味になり、そうして初めて次の封筒の金額の、確率変数ではない期待値を計算できる。
>>10が言ってるのはこの場合だよね？
その場合常にE[(Y/X)|X]=1.25と考えるためには通常ありえない分布を入れる必要が出てくる。
この考え方は>>1の問題を、金額を見た後に確率1/2でその倍か半分を次の封筒に入れてくれる、という問題と同等と考えていることになる。そうは思えないから多くの人はこういう判断はしないんだね。
0014１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 10:02:31
>>13
> 固定された２つからランダムに選んだんだ場合は「Y/Xが2である確率も
> 1/2である確率も1/2」よりE[Y/X]=E[X/Y]=1.25である（これは正しい）と
> いうことから、期待値は常に1.25倍になるから変えた方がいいと考えてる
> ならこれは誤りだよ、ということを説明しただけです。
> 多分こう考えて変だなぁと思ってる人も多いと思ったんで。

前スレを見てましたが、そういう誤解は結構多かったように思います。

　E[Y] = E[Y/X] * E[X] = 1.25 * E[X]
　一枚目を見送れば、期待値は1.25倍
　二枚目を見送って一枚目に戻れば、さらに1.25倍…
　それは変だから、二つの封筒問題の議論はまちがっている

という誤解ですね。勝手に「E[Y] > E[X]」だと思い込んでいるだけで、
解答にはそんなことは書いてない。

次に、(5000 10000)と(10000 20000)が等確率ならE[Y|X=10000] = 12500だけど
一般にはそうとは限らない、という指摘はその通りです。
>>1に突っ込むとしたらまさにこの点だけなんですよね。

こういう突っ込みどころが用意されているから、

> その場合常にE[(Y/X)|X]=1.25と考えるためには通常ありえない分布を
> 入れる必要が出てくる。

ということで、分布がおかしいのでは？という方向に議論が進んでしまうのでしょう。

0015１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 10:29:32
>>14
> その場合常にE[(Y/X)|X]=1.25と考えるためには通常ありえない分布を
> 入れる必要が出てくる。

蛇足ですが，そのありえない分布を無理に考えるとするならば
1/x に比例するような分布ですね．当然，そのような分布は
0より大きい実数で積分すると無限大に発散します．
（積分不能分布， improper distribution）

この「通常ありえない分布」が半無限での一様分布だと述べてる方もおられますが
そのような一様分布を無理に導入した場合は常に E[(Y/X)|X]=1.5 になりますね．

いずれにせよ，そのような事前分布は問題からは一切仮定できないのですが．
0016１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 12:32:37
n　　　　　　¥=n　　　　　¥=2n
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■□■□■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
■■■□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ¥

¥のしきにすると
¥=n
¥=n/2
0017１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 12:34:31
訂正

n　　　　　　¥=n　　　　　¥=2n
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nのしきにすると
n=¥
n=¥/2
0018１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 12:36:33

n　　　　　　n=¥　　　　
■□□□□□□□□□□□□■
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■□□□□□□□□□□■□□
■□□□□□□□□□■□□□
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■□□□□□■□□□□□■□　n=¥/2
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0019１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 12:56:41
このスレ

　〜〜〜〜終了〜〜〜
0020１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 13:41:18
>>3-4
の>>732におかしい箇所は無い
ってのに惑わされたが、

結局>>14で言うように実際にそうなるか分からない
仮定の1/2を用いてそれを元に「交換した方が得」って
結論に至ってるんだから、
おかしくないと言うのはやはり間違いだろ。
0021102006/02/21(火) 18:39:08
>>13
空けちゃうと今度はE[Y/X|X] = 1.25は言えないですね

というかそうか、条件付期待値の記法で書くべきだったのか
0022１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 21:17:26
>>20
> おかしくないと言うのはやはり間違いだろ。

二重三重のミスリードだね

オレも、一枚目の期待値　＜　二枚目の期待値という「結論」を勝手に
引き出してしまって、悩んだよ。オレだけじゃないはず、と思いたい。
0023１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 22:52:09
あまり過去スレや過去レスを読まずにレスするが許してね。
[10000,20000][20000,40000][40000,80000][80000,160000][160000,320000]の5つの箱があるとすると
10000〜160000を引いた場合は交換した方が得策。
しかし320000を引いた場合は交換すると間違いなく160000の損。
よって箱の数が有限である限り、全く交換しない場合と常に交換する場合ではトータルでバランスが取れることになる。
従って交換した方が優位なのは何故だ？と考える必要はない。
トータルでは交換した方が優位とは言えないから。
0024１３２人目の素数さん2006/02/22(水) 00:12:09
>>23
それは逆を言えばつまり、下限を1、最大を無限とした場合、
2回目も交換した方が得になるって事だな？
0025１３２人目の素数さん2006/02/22(水) 11:09:48
そもそも(大袈裟な言い方をすれば)世界の資金量には
限りがあるわけで、
上限がないということは有り得ない。
必ず上限があるわけで
上限の金額を開けた場合は
交換すると間違いなく半減する。
よって上限の金額を知らされていない場合は
交換すると期待値がアップするとは
必ずしもは言えない。
だから、交換する場合もしない場合も
トータルで見れば
期待値は変わらない。
0026１３２人目の素数さん2006/02/22(水) 17:19:25
世界の資金量に限りがなければ
交換する場合期待値があがると
0027１３２人目の素数さん2006/02/22(水) 17:28:51
そうだよ。
無限とは、そういうことだ。
0028１３２人目の素数さん2006/02/22(水) 17:32:23
>>26
いえ，資金量に限りがない場合でも
「常に交換した場合のゲインが正」は成り立たないです．反例がすぐに出せます．
ただしこれの逆，つまり
「常に交換した場合のゲインが正　ならば　資金量に限りがない」
は示せると思います．導出が非常に長くなりますが．
0029262006/02/22(水) 17:40:13
もっと言うなら「資金量に限りがない」はより緩い形で，
実際には封筒の中の金額に対する期待値

E(x)=∫xp(x)dx

が発散しない，というより厳しい必要条件を導出できると思います．
0030292006/02/22(水) 17:43:32
うわ，書いてることが全く逆だ．すいません 29 は完全に無視してください．

もっと言うなら 26 に書いた「常に交換した場合のゲインが正」であるための
必要条件「資金量に限りがない」は厳しい形で，
実際には封筒の中の金額に対する期待値

E(x)=∫xp(x)dx

が発散しなければならない，というより緩い必要条件を導出できると思います．
003128,29,302006/02/22(水) 17:50:29
すいません．29,30 で書いている「26」というのは全て「28」の間違いです……．
0032１３２人目の素数さん2006/02/23(木) 00:09:43
ぜんぜん関係ないかもしれないけど、こないだ観たTRICKのスペシャルで

「男か女、のぞみどおりの子供を生むことができる御札を１万円で売る。
もしはずれた場合、代金の１万円＋５０００円を返す。」

という商売をやっていて、これは絶対にもうかる商売だ、ということになっていた。
（1/2で当たる確率で、あたった場合は＋１００００円、はずれた場合は−５０００円だから）

こう考えると、やっぱり交換したほうが得のような気がするんですけど気のせいですか
0033１３２人目の素数さん2006/02/23(木) 08:52:04
>>32
確率1/2なら交換した方が（期待値から見れば）もちろん得だよ。

ただ、男か女かは生物学的か統計学的か知らんが、確率1/2とする根拠はあると思う。
でも、この問題では(10000,5000)だったか(20000,10000)だったかが確率1/2、とする根拠が無い、というだけ。

だから確率1/2と判断したなら変えた方が得ということでいいが、その例の男女の確率みたいに、誰が見ても1/2と判断できる状況とはいえないわけだ。
0034１３２人目の素数さん2006/02/23(木) 18:07:21
＞男か女かは生物学的か統計学的か知らんが、確率1/2とする根拠はあると思う。
統計的には出生数は男の子のほうが数%多いけどね
0035１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 18:43:36
647
0036１３２人目の素数さん2006/03/13(月) 01:27:28
ar
0037１３２人目の素数さん2006/03/13(月) 01:40:02
せっかく落ちてた糞スレをあげんな
0038１３２人目の素数さん2006/03/15(水) 19:51:53
king　た〜〜〜ん　
Tama King　た〜〜〜ん
中川た〜〜ん
0039BW of TamaKing ◆gqRrL0OhYE 2006/03/15(水) 20:11:36
>>38　呼ぶなったら呼ぶな。
0040GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/03/15(水) 20:30:12
talk:>>38 私を呼んだか？
0041１３２人目の素数さん2006/03/15(水) 21:17:33
king はまめに駆けつける。誠実である。
TamaKing　は駆けつけるが一言文句が多い。
中川はずぼらである。
0042GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/03/15(水) 21:30:12
talk:>>41 私を呼んだか？
0043 ◆4hceVH/mN6 2006/03/17(金) 01:31:36
雷
0044１３２人目の素数さん2006/03/17(金) 01:43:26
あ
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