>>676ですが、2次の実対称行列については何とか自分で
証明できました。

A = ((a,b),(b,c))として、
det(A-λI) = 0 から、
λ^2 - trA・λ + detA = 0 と固有方程式を立て、
この解をそれぞれ α、βとする。

すると、固有ベクトルは(-b, a-α) (-b, a-β)となるから、
この内積を取って0であることが言えればよい。
b^2 + a^2 - (α+β) a + αβ
となる。
で、解と係数の関係から、-trA = α+β、detA=αβなので、
b^2 + a^2 - trA a + detA = b^2 + a^2 - (a+c)・a + ac - b^2 = 0
となって、証明終わり。

一般形のn次元の場合はn次方程式を解かなあかんのですが、
指針が立ちません。良い手はありませんか？