>>274
F(x)={(x-2)/3}f(x)+f '(x)+3 　の両辺を微分
f(x) = (1/3)*f(x) + {(x-2)/3}f '(x) + f ''(x)
f(0)=1 から　f(x) = ax^2+bx+1 とおけるので代入すると
ax^2+bx+1 = (1/3)(ax^2+bx+1) + {(x-2)/3}(2ax+b)+2a
係数を比較して
b=(2/3)b -(4/3)a
1=1/3 -(2/3)b + 2a

a=1/7 , b= -4/7