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有限生成群の性質をｼｺｼｺ調べるスレ

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 16:14:08
シコシコ
0002１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 16:16:10
<x,y|xyx^(-1)y^(-1)>は可換群でZ^2と同型。シコシコ
0003１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 16:32:43
sl(2,Z)は((0,1),(1,0))と((1,1),(0,1))で生成される群。シコシコ
0004１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 17:14:24
<x,y,z|x^2=y^2=z^2=(xy)^p=(yz)^q=(zx)^r=1>が有限群となる、というのは
1/(p+1)+1/(q+1)+1/(r+1)>1と同値。シコシコ
0005１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 18:41:16
>>4
証明きぼんぬ。
0006１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 01:41:01
>>5
Coxeter群の分類定理
0007１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 10:06:18
>>5-6
シコシコ汁

シコシコ
0008１３２人目の素数さん2006/02/21(火) 21:00:53
幾何的な証明は分かりやすい反面、
数学板で突っ込まれないちゃんとした証明文を書くのが難しい。シコシコ
0009１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 18:30:25
440
0010１３２人目の素数さん2006/03/06(月) 23:23:27
>>3
どこか間違っていないか？
0011１３２人目の素数さん2006/03/06(月) 23:27:00
>>4
これもどこか間違っていないか？
0012１３２人目の素数さん2006/03/12(日) 23:48:42
類似スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1131300741/l50
に吸収合併

よってこのスレ

　〜〜〜終了〜〜〜
0013１３２人目の素数さん2006/03/14(火) 05:12:48
age
0014中川秀泰 ◆IPeKUwqiHM 2006/03/14(火) 13:44:35
勝手に上げないで下さい。
0015１３２人目の素数さん2006/03/14(火) 13:47:36
スレを上げる時はまず中川氏に一言断わる事
0016BW of Tama King2006/03/14(火) 13:50:49
>>14 ともに数学版の治安を守ろうではないか。
0017１３２人目の素数さん2006/03/14(火) 13:54:45
馬鹿こて同盟
0018BW of Tama King2006/03/14(火) 14:09:06
>>17 お前もbakaをやれよ？
0019１３２人目の素数さん2006/03/26(日) 15:30:17
0020１３２人目の素数さん2006/04/08(土) 13:13:57
rankが2以上の有限生成自由群には有限生成でない部分群がある。ｼｺｼｺｼｺｼｺ…ﾊｧﾊｧ
0021１３２人目の素数さん2006/04/08(土) 22:15:46
>>20
交換子群
0022１３２人目の素数さん2006/04/08(土) 22:19:05
>>3
((0,1),(1,0))はSL(2,Z)の元ではない
この馬鹿
0023１３２人目の素数さん2006/04/08(土) 22:49:49
age
0024１３２人目の素数さん2006/04/09(日) 19:12:00
ageんな馬鹿
0025１３２人目の素数さん 2006/04/11(火) 01:11:02
モンスター群を、生成元と関係式で書いたら、それぞれ何個くらい？
0026１３２人目の素数さん2006/04/11(火) 02:58:27
グラハム数使ったら書けたよ。
0027１３２人目の素数さん2006/04/11(火) 21:40:10
シコシコしる

ｼｺｼｺ
0028１３２人目の素数さん2006/04/12(水) 22:55:23
モンスターなんて、２，３個で生成されるだろう。
0029１３２人目の素数さん2006/04/13(木) 03:05:16
1個で生成したら神
0030１３２人目の素数さん2006/04/13(木) 06:10:23
1個で生成したら馬鹿king
0031GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/04/13(木) 07:11:35
talk:>>30 何考えてんだよ？
0032１３２人目の素数さん2006/04/16(日) 01:01:56
926
0033１３２人目の素数さん2006/04/21(金) 13:29:22
sl(n,Z)も有限生成。
それにしても、最近2chでは「-1」が「1」とバグで表示されてしまう事があるらしい、>>3とか。シコシコ。
0034１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 21:54:17
　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　|(´･ω･`)ﾉ 知らんがな
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　 　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　 ＼　　　 　　 | (´･ω･`) |
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　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
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　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　kingｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

0035GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/04/23(日) 22:55:28
talk:>>34 私の城を用意してくれるのか？
0036１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 21:00:43
179
0037ラウール2006/05/24(水) 20:09:19
ちっ
0038ラウール2006/05/24(水) 20:10:26
こっちんちん
0039ラウール2006/05/24(水) 20:15:57
ハジメマシテーラウールでーす。
0040あ2006/05/25(木) 16:04:06
シコシコ　ﾄﾞｯﾋﾟｭﾋﾟｭω
0041１３２人目の素数さん2006/06/09(金) 20:38:14
与えられた2つの有限生成群が同型かどうかを一般的に判定できるアルゴリズムは存在しない ｼｺｼｺ
0042１３２人目の素数さん2006/06/11(日) 01:10:51
>>41
当たり前。基本関係が無限個なら。
0043１３２人目の素数さん2006/06/11(日) 01:32:58
有限表示の場合も同様。ｼｺｼｺ
0044１３２人目の素数さん2006/06/11(日) 11:20:47
こんなんあった
http://jump.sagasu.in/goto/butikire-movie/

0045１３２人目の素数さん2006/06/16(金) 02:14:30
570
0046１３２人目の素数さん2006/06/22(木) 20:34:39
いかにもkingが来そうなスレ
0047１３２人目の素数さん2006/06/22(木) 20:58:54
有限生成群の語の問題って関係子が一つなら解けるんだっけ？
0048GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/06/24(土) 19:39:22
talk:>>46 私を呼んだだろう？
0049１３２人目の素数さん2006/06/25(日) 07:43:42
>>47
Magunus の定理
0050１３２人目の素数さん2006/06/28(水) 06:48:39
全ての有限群は有限Coxeter群の部分群、ｼｺｼｺ
0051１３２人目の素数さん2006/07/28(金) 16:33:59
187
0052１３２人目の素数さん2006/07/30(日) 12:55:13
有限生成群の部分群は必ずしも有限生成でない。

有限表示群の有限生成部分群は必ずしも有限表示ではない。
0053１３２人目の素数さん2006/07/30(日) 13:03:03
シコシコすると髪の毛伸びるの？
0054１３２人目の素数さん2006/07/30(日) 15:11:06
ｼｺｼｺｼｺｼｺ(･∀･)ﾉｲｸｿﾞ!!
0055１３２人目の素数さん2006/08/24(木) 19:41:58
有限表示群の指数有限の部分群は有限表示である
0056１３２人目の素数さん2006/08/30(水) 11:58:31
age
0057１３２人目の素数さん2006/10/02(月) 23:40:13
615
0058１３２人目の素数さん2006/10/06(金) 23:40:47
二元生成群 G で、任意の可算群と同型な部分群を持つような物が存在する。
0059１３２人目の素数さん2006/11/07(火) 21:10:27
黒炎龍
0060１３２人目の素数さん2006/11/13(月) 06:28:39
350
0061１３２人目の素数さん2006/12/03(日) 18:06:21
自然数 m, n を与えたとき、高々 m 個の元で生成され、
恒等式 x^n = 1 を満たす有限可解群の内位数最大の群は存在するか？
0062１３２人目の素数さん2006/12/08(金) 10:49:42
age
0063１３２人目の素数さん2006/12/09(土) 13:34:32
G, H をそれぞれ具体的な有限表示が与えられた群とする。
G がその表示に対して語の問題が解けるならば、
更に G と H が抽象的に同型なら
H の与えられた表示から語の問題が解ける。
0064１３２人目の素数さん2006/12/09(土) 14:43:51
おまいらｼｺｼｺしる


ｼｺｼｺ
0065１３２人目の素数さん2006/12/09(土) 18:16:56
>>63
自明群が群表示で判別できるのか？
0066１３２人目の素数さん2006/12/10(日) 03:26:39
S4＝＜(1,2),(1,2,3,4)＞
0067１３２人目の素数さん2006/12/10(日) 22:24:18
>>65
それは同型問題と言って、語の問題とは別問題
0068１３２人目の素数さん2006/12/10(日) 22:59:18
でも解けてしまわないか？
0069１３２人目の素数さん2006/12/11(月) 07:46:56
>>68
解ける訳ない
0070１３２人目の素数さん2006/12/11(月) 08:20:12
Ｇが自明とわかっている群でHが自明群の表示の時、
>>63よりHの自明な語（すなわちどのような語でも）を
自明と判定できるアルゴリズムがあるんだよね？
つまり、Hが自明群であると判定できてしまうことにならないのか？
0071１３２人目の素数さん2006/12/11(月) 10:09:54
自明でないときには一般に止まらないから判定できるわけではないってことかな？
0072１３２人目の素数さん2006/12/15(金) 08:55:54
（群が）自明である事は帰納的可算だが、
自明でない事は帰納的可算でない。と云ふ事。
0073１３２人目の素数さん2006/12/16(土) 22:37:52
age
0074１３２人目の素数さん2006/12/17(日) 13:52:55
はぁ〜
0075１３２人目の素数さん2006/12/29(金) 13:13:50
ふぅ〜
0076１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 06:15:46
<(13)(1234)>={e,(13),(24),(13)(24),(14)(23),(12)(34),(1234),(1432)}
(13)(1234)=(13)(12)(13)(14)=(13)(24)
0077１３２人目の素数さん2007/01/06(土) 16:30:33
(13)(1234)=(13)(12)(13)(14)=(23)(14)
(1234)(13)=(12)(13)(14)(13)=(12)(34)
(1234)(1234)=(13)(24)
0078１３２人目の素数さん2007/02/05(月) 17:12:09
756
0079１３２人目の素数さん2007/03/11(日) 20:38:02
100
0080１３２人目の素数さん2007/04/01(日) 13:05:20
有限生成群とそうでない群の本質的違いは？
0081明智小五郎2007/04/07(土) 17:16:31
ｼｺｼｺ調べろこの馬鹿
0082１３２人目の素数さん2007/04/07(土) 17:35:54
http://www.cs.drexel.edu/~crorres/ode/ode.html
http://www.math.rutgers.edu/~sontag/JODE/JOdeApplet3D.html
0083１３２人目の素数さん2007/04/07(土) 17:55:06
素数の巡回群の積
0084明智小五郎2007/04/07(土) 20:44:55
ｼｺｼｺ調べろこの馬鹿どもめ
0085１３２人目の素数さん2007/04/12(木) 10:34:53
ドピュ
0086１３２人目の素数さん2007/06/25(月) 09:48:03
240
0087１３２人目の素数さん2007/08/31(金) 16:58:08
0088１３２人目の素数さん2007/10/30(火) 10:15:07
109
0089１３２人目の素数さん2007/11/28(水) 02:30:23
フォルダ 4file 358.72KB * [カリチート] 刈升伝説 番外編 〜刈升語録集
0090１３２人目の素数さん2007/12/01(土) 10:19:43
age
0091１３２人目の素数さん2007/12/01(土) 23:32:00
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1140419648/
0092１３２人目の素数さん2007/12/02(日) 21:29:33
有限生成群の部分群は必ずしも有限生成でない事を示せ
0093１３２人目の素数さん2007/12/08(土) 21:15:34
具体例上げておしまい
0094１３２人目の素数さん2008/01/16(水) 01:59:02
>>93
具体的には？
0095１３２人目の素数さん2008/01/20(日) 21:17:36
ageられないんだ
0096１３２人目の素数さん2008/01/20(日) 22:39:52
ペレルマンの数学には人の目を引くところがない。一見、冴えがないのである。
仮に中盤で解決できそうになったとする。プロなら、それを探し出して一気に解こうとする。
ところが、ペレルマンはそういった常識に囚われない。
有利な態勢になっても、決して解決を急がない。
ポアンカレ予想に対して、ゆっくり解こう、などと考えるのは大変な素質で、
恐るべき底の深さを感じる。
全盛時代のドリーニュは、「最初のチャンスは見送る」と言っていた。
何となく似ているではないか。

底の深さと言えば、もう一つ感じたことがある。
それは、人生経験が数学にプラスするだろう、と思わせる点で、
ペレルマンは五十歳くらいまで年々進歩するはずだ。
もしかしたら、ここ数年がピークなのではないか、
という感じのタオと違う、人間的なスケールの大きさがある。

「たくさん未解決問題を解くのはタオ君でしょうが、ここ一番で仕事をするのはペレルマン君のような気がしますね」
長尾少年の言である。恐らく当っているだろう。
0097１３２人目の素数さん2008/01/21(月) 04:45:23
>>95
初歩の初歩だよん
0098１３２人目の素数さん2008/01/21(月) 06:32:54
G=<a,b|>に対して[G,G]
0099１３２人目の素数さん2008/01/21(月) 17:42:06
>>98
（一例として）正解
では G を（有限生成）冪零群に限るとどうか？
0100１３２人目の素数さん2008/01/22(火) 00:32:53
ついでに。
任意の部分群が有限生成なる群を特徴付けよ。
0101１３２人目の素数さん2008/01/22(火) 00:39:49
学部生の知識自慢か？
0102１３２人目の素数さん2008/02/10(日) 17:40:33
ｼｺｯ ｼｺｯ
0103１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 16:14:08
二年。
0104１３２人目の素数さん2008/04/10(木) 10:08:59
409
0105１３２人目の素数さん2008/04/10(木) 22:56:37
age
0106１３２人目の素数さん2008/05/31(土) 08:58:06
>>100
Z_p^∞
0107１３２人目の素数さん2008/05/31(土) 11:40:37
age
0108１３２人目の素数さん2008/07/23(水) 04:08:38
108
0109１３２人目の素数さん2008/07/23(水) 04:12:54
age
0110１３２人目の素数さん2008/09/06(土) 21:59:21
434
0111１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 12:22:59
843
0112１３２人目の素数さん2008/12/03(水) 12:21:44
599
0113１３２人目の素数さん2009/01/11(日) 08:41:01
575
0114１３２人目の素数さん2009/01/30(金) 08:10:08
874
0115１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 05:24:34
age
0116１３２人目の素数さん2009/01/31(土) 11:13:01
群 G とその正規部分群 N について、剰余群 G/N は、次のどの群と同型か?記号で答え よ。
1.1 :{()}
2.1 :{(1,2)}
3.1 :{(1,2,3)}
4.1 :{(1,2,3,4)}
4.2 :{(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)}
5.1 :{(1,2,3,4,5)}
6.1 :{(1,2,3),(1,2)}
6.2 :{(1,2,3,4,5,6)}
7.1 :{(1,2,3,4,5,6,7)}
8.1 :{(1,2,3,4,5,6,7,8)}
8.2 :{(1,2), (3,4,5,6)}
8.3 :{(1,2,3,4), (1,2)(3,4)}
8.4 :{(1,3,2,4)(5,7,6,8),(1,5,2,6)(3,8,4,7)}
8.5 :{(1,2),(3,4),(5,6)}
9.1 :{(1,2,3,4,5,6,7,8,9)}
9.2 :{(1,2,3), (4,5,6)}
10.1 : {(1,2,3,4,5),(2,5)(3,4)}
10.2 : {(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)}
16 群 G = (132)(456), (162435) , 正規部分群 N = (132)(465)
39 群 G = (67), (345) , 正規部分群 N = (67)
44 群 G = (243)(567), (273546) , 正規部分群 N = (243)(576)
72 群 G = (45)(78), (24)(35)(687) , 正規部分群 N = (23)(45), (24)(35)
0117答え2009/02/04(水) 19:47:28
6.2 :{(1,2,3,4,5,6)}
3.1 :{(1,2,3)}
6.2 :{(1,2,3,4,5,6)}
3.1 :{(1,2,3)}
0118１３２人目の素数さん2009/02/04(水) 20:48:39
16と44は同じ群。文字を変えただけ。Gの位数が18なのは間違いないと思う。
39はC2XC3をC2で割っただけ。
72はC2XC2(クラインの４元数群)が出てくる。Gの位数は12。
実際にGを生成し、Nも生成してみれば、見当はつく。

正直、しかし、正規部分群ってのは俺にも、まだ、今、一つピンとは来ない奴だが、、、。

群は、巡回群、アーベル群、正規部分群、となるに従って、「割り算」が広がって行く。
巡回群にも、素数位数、合成数位数で、趣は違ってくる。

可解群ってのは、「正規部分群による割り算」の商がいつも「素数位数の巡回群」になる群の事で、
素直に読めば、ガロアはいつだって素直にまっすぐに進んでいる。
0119１３２人目の素数さん2009/02/06(金) 20:26:15
16と44は6.1
0120１３２人目の素数さん2009/02/08(日) 14:11:38
置換群での計算はおもしろい。

一つの元から生成されるのはいつでも、たった一つの巡回群だが、これが２個に増えた途端に、
その世界は広がっていく。

問題.
位数２の元、２個から生成される群を全て、分類せよ。（置換群で表現せよ。）

注)
位数２の元は、
(1,2),
(1,2)(3,4),
(1,2)(3,4)(5,6),
,,,,
と無数にあり、これら及びこれらの数字を入れ替えた元のみを２個持ってくるだけで、
任意の(1,2,,,,n)と言う、位数nの元が生成される。
記法で言うと、
<a,b:a^2=b^2=1>だけでは群は特定されない。
abが何になるのか？baが何になるのか？で
趣きは全く異なってくる。
0121１３２人目の素数さん2009/02/09(月) 06:30:37
age
0122>>120続き2009/02/11(水) 09:50:31
だから、位数2の元2個で
置換群の任意の形、タイプの元を表現できる。

abにもbaにも位数が必ずある。
(ab)^n=1ならば、(ba)^n=b(ab)^(n-1)a=b(ab)-1a=b(b^(-1)a^(-1))a=bb^(-1)a^(-1)a=1
だから、baもbaも同じ位数になる。

それらは、どの程度、形が決まっているのだろうか
0123１３２人目の素数さん2009/02/13(金) 21:22:58
<a^2=b^2=(ab)^n=1>=Dn
0124１３２人目の素数さん2009/02/13(金) 22:32:13
<a^2=b^3=(ab)^n=1>=?
0125１３２人目の素数さん2009/02/17(火) 20:00:31
age
0126１３２人目の素数さん2009/02/21(土) 00:14:08
三年八時間。
0127１３２人目の素数さん2009/03/23(月) 22:26:14
<a^2=b^3=(ab)^3=1>=A4
<a^2=b^3=(ab)^4=1>=S4

<a^2=b^3=(ab)^5=1>=?
0128１３２人目の素数さん2009/03/25(水) 21:58:12
age
0129１３２人目の素数さん2009/04/26(日) 01:33:22
303
0130１３２人目の素数さん2009/06/03(水) 12:22:53
<a^2=b^3=(ab)^5=1>=A5

<a^2=b^3=(ab)^6=1>=S5 ???
<a^2=b^3=(ab)^7=1> not= A6
0131１３２人目の素数さん2009/07/10(金) 09:00:52
606
0132１３２人目の素数さん2009/08/15(土) 17:57:07
有限生成群の問題は面倒なのが多いいい
0133１３２人目の素数さん2009/08/16(日) 05:04:56
<a^2=b^3=(ab)^6=1>って無限群なのか？
どうも
abab^(-1)がどうふやして行っても、単位元になりそうもない気がする。
<a^p=b^q=(ab)^n=1>をこの間から計算したり調べたりしているんだが、
適切な検索サイト先あれば、教えて頂きたい。
(ずっと、<a^2=b^3=(ab)^6=1>でつかえている。
早く、3,3の場合を知りたいのだが、、、。
バーンサイトにのめり込みそうなんだが、
こんなもん読んでたら、どうもまた少なくとも一年
はかかりそうだ。）
0134１３２人目の素数さん2009/08/18(火) 00:56:24
計算を飛び越えてみたい時って標語として「群を考えろ」って言うから
群の群を考えればいいのかな
0135１３２人目の素数さん2009/08/19(水) 23:42:22
群の表示だと、結び目の本の方がいいかもしれない。
0136１３２人目の素数さん2009/09/04(金) 06:57:51
>>133 遅レスだが無限群になる。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_group
を見よ。
0137１３２人目の素数さん2009/10/05(月) 16:46:53
666
0138１３２人目の素数さん2010/02/04(木) 16:48:57
650
0139１３２人目の素数さん2010/02/12(金) 19:31:20
K を体とするとき、 GL(n, K) の有限生成部分群 G は

i) G は有限表示である
ii) G の指数有限部分群全体の交わりは自明群

である事を証明せよ。
0140１３２人目の素数さん2010/02/18(木) 21:14:56
誰も解けませんか？
Selberg の定理などは使わずに初等的に解いてよね。
0141１３２人目の素数さん2010/03/06(土) 12:58:06
age
0142１３２人目の素数さん2010/03/06(土) 13:49:35
有限表示ってどおいう定義ですか？
0143１３２人目の素数さん2010/03/06(土) 18:34:15
有限個の生成元と、それらの間の有限個の基本関係式で定義される群だよ。
そのくらい自分で調べろ。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&source=hp&q=%E6%9C%89%E9%99%90%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%BE%A4&lr=&aq=f&oq=
0144１３２人目の素数さん2010/05/07(金) 17:05:21
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