>>765
極論を言えば、フェルマーの最終定理を自然数論の公理にしたって
これは正しい定理だから別に何も問題はない。
ただ実際には、そんな訳の分からない公理の取り方をする人は
世界中探したって一人として居ません。

単に、定義としても数学の理論は原理的には展開できるけど、
理論が複雑かつ不明瞭になるだけなので、
そういう公理の取り方をする人はほとんどいない、と言うだけ。
「公理ではない」というのはそもそもそういう意味です。

ZFCからωを作って、ω^2の部分集合としてZを構成する話なのか
それとも代数学的に、標数0の任意の無限環に（同型な環が）含まれるような
環が唯一つ存在する。それをZとする、とかそういう風に定義するのか、
はたまた圏論でも使って定義するのかで、また話が違うけどね。

いずれにしても、「有理整数環をAとBの二つの集合に分けたとき、
Aの元同士の積は必ずBの積になり、それ以外にこれこれの性質が成り立つとする。
このような分け方は一意に決まるので、そのときAの元を負であるという」
なんて難儀な定義をしてるのは見たことないですよ。あったら教えてください。

>>780
二段落目以降に同意。