>>792
a(n+1)+b(n+1)√3 = (2+√3)^(n+1) = (2+√3)(a(n)+b(n)√3) = {2a(n)+3b(n)}+{a(n)+2b(n)}√3
を比較して
a(n+1)=2a(n)+3b(n) , b(n+1)=a(n)+2b(n)

α=2+√3 , β=2-√3　とおいて、
a(n+1)-αb(n+1)=β{a(n)-αb(n)} , a(n+1)-βb(n+1)=α{a(n)-βb(n)}
と等比数列を2つ作れば解けるけど

(2+√3)^n
= Σ[k=0,n] C[n,k] 2^(n-k)*(√3)^k
= Σ[k:偶数] C[n,k] 2^(n-k)*(√3)^k + Σ[k:奇数] C[n,k] 2^(n-k)*(√3)^k
= Σ[k:偶数] C[n,k] 2^(n-k)*(3)^(k/2) + {Σ[k:奇数] C[n,k] 2^(n-k)*(3)^((k-1)/2) }*√3

a(n)=Σ[k:偶数] C[n,k] 2^(n-k)*(3)^(k/2) , b(n)=Σ[k:奇数] C[n,k] 2^(n-k)*(3)^((k-1)/2)
だから、上の計算を逆にたどって
c(n) = a(n)-b(n)√3
= Σ[k:偶数] C[n,k] 2^(n-k)*(3)^(k/2) - {Σ[k:奇数] C[n,k] 2^(n-k)*(3)^((k-1)/2) }*√3
= Σ[k:偶数] C[n,k] 2^(n-k)*(√3)^k + Σ[k:奇数] C[n,k] 2^(n-k)*(-√3)^k
= Σ[k=0,n] C[n,k] 2^(n-k)*(-√3)^k
= (2-√3)^n

よって　a(n) = (1/2){(2+√3)^n + (2-√3)^n}
b(n) = (1/(2√3)){(2+√3)^n - (2-√3)^n}