＞ 仮に「互いに素ではない整数a,b」を利用した際に公約数が出て背理法が成立しないと思うんですが・・・。
Yes

＞ 有理数を表すには「互いに素ではない整数a,b」でa/bと表現しても問題は無いですよね？
Yes



何が疑問？