>>179
帰納法を使う。n=1のときは自明。

n=kのとき成立すると仮定する。つまりx(k) y(k)は互いに素(*)。
ここで行列A=((a b) (c d))とすると、
<x(k+1) y(k+1)>=A <x(k) y(k)>と書ける。< >は縦ベクトルと見てくれ。

仮に左辺が互いに素ではないとする(**)。すると右辺も当然素ではないので
A <x(k) y(k)>=<dm dn> となる整数d,m,nが存在する。但しd≠1。

ところがこの式に、A^-1=((d -b) (-c a))を左から作用させると
<x(k) y(k)>=(A^-1)<dm dn>
これはx(k) y(k)が互いに素という仮定(*)に反する。

従って(**)は偽、すなわち x(k+1) y(k+1) も互いに素。□