整数問題は苦手だが。

y_n/x_n=α_nとおく。

x_1とy_1は互いに素なので、
x_nとy_nが互いに素ならばx_(n+1)とy_(n+1)であることを示せばよい。

α_(n+1)={a+bα_n}/{c+dα_n}
互いに素な整数pとqと1でない整数kでこの分母がpk、分子がqkと書けたとする。
{a+bα_n}=pk
{c+dα_n}=qk
α_n=(pk-a)/b=(qk-c)/d
pkd-ad=qkb-bc
k(pd-qb)=1
pd-qbは整数なので、kは1である。
故にx_(n+1)とy_(n+1)は互いに素であり、命題が示せた。