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1=0.99999…の簡単な説明を作るスレ

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0001１３２人目の素数さん

2006/02/08(水) 22:28:52

1=0.9999…をどう説明しても納得してもらえない人への簡単で効率的な1=0.9999…になる簡単な説明方法を考えて見ましょう

0002１３２人目の素数さん

2006/02/08(水) 22:30:41

馬鹿は微分を使って説明しても分からないから理解させるのに苦労する。

0003１３２人目の素数さん

2006/02/08(水) 22:37:24

パート１１までいっているスレがあるのに重複スレを立ててしまう
馬鹿な>>1は掲示板の使い方を説明しても分からないから理解させるのに苦労する。

00041

2006/02/08(水) 23:04:06

重複してたのかぁ～バカな～(´・ω・｀)ショボーン
じゃなくて
議題の真は「どれだけ簡単に説明するか」だ微積分を使った説明してもわかんない人多いしぃ～

0005１３２人目の素数さん

2006/02/08(水) 23:09:32

【証明】
1/3＝0,33333333・・・・・・より
両辺を3倍して
1＝0.999999999・・・・。

0006１３２人目の素数さん

2006/02/08(水) 23:13:21

1=0.999999... + 0.000000.....
でいいんじゃないの?

0007１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 00:08:59

１―０．９９９…=０
じゃ駄目？

0008１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 00:19:41

>>7と>>6は同値じゃね？

0009１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 06:38:59

俺んとこは1÷3=0.333…×3=0.999…=1じゃ高校偏差値40以下の人はもちろん偏差値60以上の人にも納得してもらえなかった(T_T)
これってどういうことかのぅ？

0010１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 09:31:45

1=0.999… その10.999…
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
ここで聞いてくれ

0011ソモサンセッパー

2006/02/09(木) 13:25:00

ソモサン：
1=0.9999…
であることを簡単に証明せよ。

セッパ：
x=0.9999…
10x=9.9999…
10x-x=9
9x=9
x=1

0012１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 15:53:19

>>11
9.999･･･-0.999･･･=9
の証明は？

0013１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 16:01:19

>>11
あ、そいつは俺が中学生の時に一番納得できた説明だな。

0014１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 16:19:27

>>12
0.9+0.09...をＭとおく
9.999...=9+0.9+0.09....=9+Ｍ
0.999...=0.9+0.09..＝Ｍ
よって9.999..-0.999..=9

0015１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 16:21:42

まず先に、0.9999……の定義があってしかるべきだと思うのだが

0016ソモサンセッパー

2006/02/09(木) 17:26:54

ソモサン：
①0.9999… を小数を使わずに表せ。
②0.1111…×9 を 9進数で、
0.3333…×3 を 3進数で書け。

セッパ：
①(1/9)x9、(1/3)x3 等
②いずれも 0.1×10

同じ数を表記する別手段はいくらでも存在する。
上の①、②はいずれも 1 を表す別表記にすぎない。
0.9999…9 は 1 ではないが、
0.9999… は 10進法における 1 の別表記。

0017１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 17:56:23

10倍すると
3.333333333333333...

故に(10-1) = 9 = (3 x 3)倍は、
3.333333333333333.... - 0.333333333.... = 3

よって0.333333333333....の3倍は1

てのはｶﾞｲｼｭﾂ？

どうせ数学的に厳密に議論しているわけでもないし。

0018１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 17:57:28

とおもったら>>11でｶﾞｲｼｭﾂだった....

0019１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 18:59:36

>>17
無限小数の定義や、無限小数の演算方法を都合良く定義したら、
そのやり方でも「厳密」になるんじゃないのか？

0020１３２人目の素数さん

2006/02/09(木) 23:12:05

やっぱりあれだ
理解出来ない奴は0.333…のような有理数は無限の演算の向こうに数の切れ目があると思いこんでいるっぽいな
それが
1≠0.999…と思いこむ要因じゃないかな？

0021１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 00:12:18

>>20
｢無限個｣という有限の個数だと思っているのでは？

0022１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 00:31:17

「数学は答が一つ」という文系伝説を信じていて、
まさか 1 を表す方法が 2 つもあるとは知らなかったとか。

002320

2006/02/10(金) 06:29:57

>>21
的確な突っ込みありがとう。まさにその通りです。
っていうかこの1=0.999…てやつ極端な馬鹿と極端に頭のいい奴はすんなり理解できるんだよなぁ
馬鹿はなんだかんだいって直感で理解できるし頭のいい奴は理論を飲み込むのが早いし
馬鹿と天才は紙一重ってこの様な事柄をいってんのかｗ

0024１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 15:29:08

直感で理解できるって言うのをセンスとよぶんだ

0025１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 15:31:03

少なくともスレを２つも使うほどの話題とは思えないのだが

0026１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 19:16:58

もっと頭が良い奴は、なにやら読んで「超準解析がどうのこうの…だから＝じゃなくても良い」と反論始めるぞｗ
今みたいにネット時代じゃなかった頃の話だから、どこかでそういう本があったんじゃないのか？

高校生あたりだと、そういうの先走って読む奴が必ずいたからな。

0027１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 19:27:51

>>26
超準解析だと1＞0.9999…だとでもいうの？

0028１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 19:58:53

>>23
可能無限って立場は、全員馬鹿ってこと？

0029１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 20:03:52

>>25
数学という論理体系の中では、1=0.999…となる。
これだけの話ですからね。

0030１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 21:13:27

>>27
違う数だって話もあるぞ。詳しくは本スレ参照。

0031１３２人目の素数さん

2006/02/10(金) 22:18:12

>>30
あれは超準解析を聞きかじっただけの大馬鹿。

0032１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 01:09:50

簡単な説明なら
「1=0.999・・・が定義です」でいいだろ
「1+1=2」が定義と思ってるやつもいるわけだし

0033１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 01:21:43

実際定義みたいなもんだしな。

0034１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 01:42:51

「1+1=2」は、
「これより学習する公理体系は、1+1=2が成立する体系である」という宣言みたいなものだろ。
だから、まあ、1+1=2は定義なんじゃないの？高校レベルまでなら。

0035よく読んでね(´・ω・｀)

2006/02/11(土) 07:53:06

ではここで
1≠0.999…と仮定しよう。その0.999…を3で割る
0.999…÷3=0.333…となる事理解いただこう
それを前提として次は1÷3を計算する
1÷3=0.333…となるよな

ここで問題だ
0.999…÷3=0.333…
1÷3=0.333…
ここで出そろった二つの式よく見ると右辺の答えが0.333…と同じ事に気づくだろう。
ということはこの二つの式はこの様につなげる事が可能になる
1÷3=0.999…÷3

とりあえず両辺の÷3がじゃまだから両辺に3をかけて÷3を消す。
1÷3×3=0.999…÷3×3

そして上記の式を整理すると以下の様な式が完成する
1=0.999…
となる

すると最初にした1≠0.999…の仮定と食い違いが出てくるわけだ

もし1=0.999…反対派がいたら意見を聞こう
あと賛成はのみなさん簡単な説明これでいいでしょうか？

0036１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 08:22:31

>>31
そうだと思うなら、本スレできちんと反論してくれｗ

0037１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 08:56:07

>>34
ペアノ公理系入れたって、「定義です」でいいだろ。

0038１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 09:00:17

>>35
よくない。本スレではなくこのスレで書くという点がよくない。

0039１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 10:02:11

本スレにもあったけど、「飛ぶ矢は飛ばないの９割版」が、説明としては良いのではないか？
これで、１＝０．９９９…とすることのメリットが実感できる。

ただ、本スレでは「数学はメリットで決まるんじゃない」なんて人が猛反発していたようだが。
最初に、そう考えているか簡単なチェックは必要なのかもな。

0040１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 10:26:25

>>35
その証明を行うための、決まりごとは公理からの演繹によって、
決定している。その公理の正当性は何によって担保されるのか？

こういう話でしょ。
論理的に、1=0.999・・・にいたる過程が理解できないのではなく、
その過程の正当性への疑義が表されているってことかと。

0041１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 11:04:52

1/3=0,3333333･････
だから3をかけても繰り上がらないけど実質1だろ？

0042GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2006/02/11(土) 11:47:50

talk:>>41 では0,3333333･････とは何かを説明してもらおう。

0043１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 11:59:02

>>40
そこまで行くと、最後はそう公理を作り上げることの「メリット論」に行き着く訳で…。

１／３＝０．３３３…　を認めている人には、これを利用するのは一つの「説明」になるでしょ。
ま、「証明」じゃないのかも知れないけどね。（「証明」はこのスレのテーマじゃないし）

逆に言うと、１＝０．９９９…を否定すると、１／３＝０．３３３…も否定しなくちゃならなくなる
わけで（あるいは無限小数の演算を否定するか）、「面倒を抱え込む」って部分である種の
メリット論になっている…と。

0044MAT

2006/02/11(土) 12:13:56

s=0.999…とすると10s=9.999…。10s-s=9　s=1　よって1=0.999…

0045１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 12:18:32

そもそも誰に対して簡単な説明を作るスレなのかを明示しないと意味がない。
一般の厨房相手なら>>11が一番納得させやすいし，意欲のある厨房やら工房やら
だったら極限の話をしてやればいい。

それともここは，「誰にでも簡単に分かり，かつ正確な説明を作る」スレなの？

0046１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 12:23:20

レベルを特定すると、一瞬にして終わりそうな気もするから、
レベルを色々変えて、このレベルならこれってやるスレなんじゃないのか？

小学校レベルなら
１／３＊３　でＯＫだろうしね。

0047１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 12:29:53

　．
0. 9=0.9999999....

無限小数の定義や表現方法は今は習わないからな......
話がかみ合ってない

0048１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 12:41:12

1≒0.99999999...
じゃダメ？

0049１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 12:44:28

厨房に説明するんなら、10cmの紙を三等分して折って
計算だと折り目は3.333…cmごとにつくが、折り目はしっかりついているので
3.333…×3＝10みたいなので納得するんじゃね？

0050１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 12:51:28

ここで疑問なんだけど√3ってどういう数なの？
終わりナイの？

0051１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 13:06:46

>>50
2乗すると3になる正の数
小数展開に終わりはない

0052１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 13:52:26

＜1=0.999...＞
X=0.999....とすると
　↓　　両辺に同じ数を掛けても等式は成り立つので１０掛ける
10x=9.999.....
　↓　　両辺から同じ数を引いても等式は成り立つので
　↓　　右辺から"x"左辺から"0.999..."を引く
9x=9.000
　↓　　両辺を同じ数で割っても等式は成り立つので９で割る
x=1
　↓　　”x”は0.999...なので
0.999...=1

これじゃだめなのかい？

0053１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 14:38:31

>>43
＞そこまで行くと、最後はそう公理を作り上げることの「メリット論」に行き着く訳で…。

これ都合悪いのかな？
メタ数学の話ってだけかと。
数学では全ての対象を捉えきれない。ここが見えてきそうでいやとか?

0054１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 14:45:45

おっ、やっとメリット派登場したのか

0055１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 17:00:23

>>54
非メリット派って君と、ほんの少しの人しかいないんじゃないのか？
メリットを求めるってのは、あまりに当たり前でわざわざ書物に記述しないだけの話であって…

0056１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 18:10:01

メリットを求めるのはあたりまえだとしても
「それが何のメリットになるのか」というところがヌケてるんだよね。

0057１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 18:16:14

>>56
それこそ公理のように当たり前のことじゃないかな?
ある疑問を解くことのメリットになる。
学問ってのはそういうものじゃないのかな?

0058１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 19:10:03

では、1=0.999・・・を疑問に思う人へのメリットを見せてもらおうか

0059１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 19:49:29

>>58
公理を信じる。公理に行き着きそれを疑う。
どちらも、疑問を解く行為の過程。
前者は公理から積み上げていく先に疑問があり、
後者はある疑問の原因遡及していった先に公理がありそれを解体。
ともに疑問解消のための行為。
どちらの行為にもメリットが見てとれる

0060１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 20:41:51

禅問答みたいなメリットしかないんか？ｗ

0061偏差値６５

2006/02/11(土) 20:49:48

これでどうだ？

0.99999....

=0.9+0.09+0.009+.......

これは初項0.9公比0.1の無限等比級数なので

=0.9/(1-0.1)=1

0062１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 21:06:49

1/9=0.1111...
2/9=0.2222...
3/9=0.3333...
.
.
.
9/9=0.9999....又は9/9＝1

0063１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 21:08:59

1=0.9999…に納得してない人は
1/9=0.1111..も納得しないと思うがな

0064ヨッシー

2006/02/11(土) 21:10:41

さっきの＞＞６２ですが初レスです。
どうぞよろしくお願いします。
（厨房です）

0065１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 21:12:15

まず君が何を納得できないのか教えてくれ。
そうしたらそれについて説明しよう。　って一休さんが言ってた。

0066ヨッシー

2006/02/11(土) 21:13:32

0.111
9)1.00000
9
10
9 ...と書いたらどうでしょう？
10

0067ヨッシー

2006/02/11(土) 21:14:14

あれ？うまく書けない...

0068１３２人目の素数さん

2006/02/11(土) 21:15:24

コテうざい

0069１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 00:49:11

てｓｔ

0070１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 01:56:33

つーか納得したぜ。

1/3が0.333333..だから

1=0.9999..つーことか？

0071１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 02:15:45

「小学校レベル」なんて批判されるやも知れないが、
別にそれでいいんだよなｗ

0072１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 10:48:00

それはおかしくないか？
10をかけるのはまだいいが（桁が繰り上がるだけ）
3をかけて
0.333333.....=0.999999.....

になるとはかぎらんじゃないか

つーか>>61
の無限等比級数が一番いいと俺は思う、収束するわけだからな

0073１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 11:36:06

1/9 = 0.111…
2/9 = 0.222…
3/9 = 0.333…
4/9 = 0.444…
5/9 = 0.555…
6/9 = 0.666…
7/9 = 0.777…
8/9 = 0.888…
9/9 = 0.999… = 1

0074１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 11:39:01

>>71
よくないぞ。インターネット掲示板を利用するのに大人も子供もない。
たとえ小学校レベルであっても重複スレはｲｸﾅｲ

0075１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 11:46:30

結論
なるものはなる

0076１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 15:36:57

>>72
だからあ、「～とはかぎらんのではないか」なんて言い出すと、当然「０．９９９９…は
極限値ではないのではないか。収束した値ではないのではないか」なんて言い出す
輩が現れるわけであって…。

０．３３３…×３＝０．９９９９…

は、無限小数を定義する際に、演算も一緒に定義しちゃえば何の問題もなく使える
だろ。（常套手段だよね）　矛盾が無いように定義しちゃえばＯＫ。問題なし。

0077１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 22:49:42

なんで皆、0.333・・・を使いたがるんだろう・・・

0078１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 22:53:48

小学校の範囲で「説明」できるから。

0079１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 23:18:02

いや、0.333・・・じゃなくて
1/9=0.111・・・
両辺9倍して
1=0.999・・・
って話があってよさそうなんだが

0080１３２人目の素数さん

2006/02/12(日) 23:19:10

普通にあるし1/3のほうが簡単じゃん

0081１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 07:20:27

0.999…×0.999…=0.999…
0.999…÷0.999…=0.999…
√0.999…=0.999…
２乗しても
-２乗しても
√にしても自らが変化しないんだよなぁ
これって１と同じ性質を持つ数ということになるのかな？

0082１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 10:36:50

>>81えー頭悪すぎ

0083１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 15:05:38

見方を変えれば、

x=0.999・・・とおくと、x^2=0.999・・・×0.999・・・=0.999・・・=xなのでx^2=x。
x≠0だからx^2=xの両辺をxで割ってx=1。

っていう1=0.999・・・の「別証」が得られると。

0084１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 15:27:03

よし、その勢いで
1.1 = 1.099999999....
も示してみよう。

0085１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 15:28:20

>>81
> 0.999…÷0.999…=0.999…

これって、どう計算してるんだよ？

008681

2006/02/13(月) 15:52:09

ごめそ
勢いで書いてしまった…少数点以下の-2乗は1だった。全くおおボケだぽ

0087１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 15:57:33

？？
もっと変なこといったぞ？

0088１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 16:23:13

>>86
日本語でおｋ

0089１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 17:49:23

やっぱりあれじゃないか
理解できない奴は虚数(√-1)とか数多くの不可解な数の存在をあまり知らないから、また1=0.999…みたいな不可解ぽい数を理解出来ないのでは？
つまり勉強不足？なのか？？

0090１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 18:56:03

いや、この話題は最終的には数学基礎論とか数学哲学の話になるんだけど…（本スレ参照）
日本の一般向けに数学の話をしている人が、そういった話を避けて下手に結論ありき
で話をしているから、同意を得られない…ぐだぐだ言う人が延々現れる…って流れになって
いるんじゃないのか？

0091ヨッシー

2006/02/13(月) 19:40:45

>>70
ありがとうございます。

0092１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 20:00:22

つまり日本における数学の教育がこの1=0.999…の理解を妨げているという事になるわけか？

0093１３２人目の素数さん

2006/02/13(月) 21:24:11

10倍して差を９で割ってる奴いるけど
10X-X=8.99999999999・・・だぞ

0094１３２人目の素数さん

2006/02/14(火) 11:13:35

>>93
>>52じゃだめ？

0095１３２人目の素数さん

2006/02/14(火) 11:18:02

0.9999... を 10 倍して 9 を引いた物って
0.9999... と正確に一致するの?

0096１３２人目の素数さん

2006/02/14(火) 11:42:18

というか、「不正確に一致する」ことってあるの？

0097１３２人目の素数さん

2006/02/14(火) 11:53:48

1=0.099999･･･
は、授業では、極限で説明してたよ。

また、こういう問題は、現在の数字が
十進位取り記数法によって表記されている
ことに限界があるからだ、と先生が授業で話しをしてた。
実は、よくわからんが・・・。

だってさ、十進位取り記数法に限界があるとしても、
かわりになるようなものって、ないよな？

0098１３２人目の素数さん

2006/02/14(火) 12:25:52

たとえば、
0.1
0.91
0.991
0.9991
0.99991
0.999991
0.9999991
0.99999991
..........
の極限だって1になる。つまり、無限小数を使って1を表示する方法は無数にある。
しかし、これは十進法の問題ではない。二進法でも三進法でも同じこと。
実数を具体的構成的に表示しようとするときに起こる問題にすぎない。

0099１３２人目の素数さん

2006/02/14(火) 12:43:30

前から思ってたんだが
同じ数を別の書き方しただけなのに
なんで証明する必要あるの？

三進数の0.1が十進数の0.3333…であることとか、
十六進数のAが十進数の10であることって
証明するほどのことでもないだろうに。

0100１３２人目の素数さん

2006/02/14(火) 12:51:25

無限小数が介入すると証明の対象になる。

0101１３２人目の素数さん

2006/02/14(火) 12:54:08

>>97
つ【分数表記】

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