表記法と、実数そのものは分けて考えないといけない
小数の定義はそのあと

定義上lim (9 + 9/10 + 9/10^2 + ......... + 9/10^n)は確かに10になるけど
これと、0.999999.........を上の意味にとるかはまた別かと

実数の定義（というか公理というべきかな）は
完備で、自然数の全体Nが有界でないような、順序を持つ体
であってそれ以上でもそれ以下でもない

因みに、有理数を切断して実数を作ったり、
コーシーな有理数列を同値類別するのは
あくまでモデルの構成であって、これを定義としちゃうと、
前者で定義したら後者は実数でないことになっちゃう
（デデキント実数とコーシー実数を区別するような数学もあるらしいけどねｗ）