二次試験直前問題演習第八弾　難易度：標準
xyz空間内に点A(1,0,0),点B(-1,0,0)があり、点Pは以下の条件を満たしている。
　条件：(ⅰ)方向ベクトル↑u=(-1,0,0)と↑APのなす角がπ/4以下でありかつ↑v=(1,0,0)と↑BPのなす角がπ/4以下である。
(ⅱ)-1≦(Pのx座標)≦1
(1) 点Pの動きうる領域Dの体積を求めよ。
(2) 底面の半径√2の円柱Cがあり、Cの底面は点A,Bを含む平面と常に平行になるように動き、かつDを常に内部に含むように動く。このとき点A,Bを含む平面とＣの中心軸との交点Qの動く領域の体積を求めよ。

この問題の(2)は出題者が
＞とりあえず(x±1)^2+y^2+z^2≦2かつx^2+(y±1)^2+z^2≦2を満たす領域
だけどな
というのですが、私は違うと思うんです。
xy平面上で(x-1)^2+y^2≦2とx^2+(y-1)^2≦2と(x+1)^2+y^2≦2とx^2+(y+1)^2≦2
の共通部分をx軸の周りに一回転させた立体だと思うんです。
何か誤解しているのでしょうか？教えてください。